§6. Приведение к диагональному виду.

Свойства 6 и 8 определителя позволяют использовать для вычисления определителя метод приведения к диагональному виду, который будем коротко называть методом Гаусса.

1 шаг. Если в матрице первый столбец состоит только из нулей, то её определитель равен нулю. Предположим, что в первом столбце есть ненулевой элемент. Переставим на первое место строку, в которой он находится; при этом следует учесть возможное изменение знака определителя. Если с самого начала было a1;10, то ничего переставлять не понадобится.

2 шаг. В получившейся матрице мы теперь имеем a1;10. Прибавим ко второй строке матрицы первую строку, домноженную на число  a1;2/a1;1. Тогда на месте элемента a1;2 мы получим 0, а определитель матрицы не изменится. Сделаем эту же операцию и с другими строками матрицы: т.е. к каждой i-ой строке матрицы первую строку, домноженную на число  a1; i/a1;1. В результате в первом столбце матрицы останутся одни только нули, кроме элемента a1;1. Другими словами, определитель примет вид:

(1.6)

Здесь и далее звёздочками обозначены элементы, которые для нас не имеют значения, т.е. нам не нужно знать, чему они равны.

3 шаг. Совершаем те же самые действия, которые были описаны выше с определителем

.

Более подробно это означает следующее. Мы переходим ко второму столбцу в матрице (1.6). Если в нём все элементы b2;2… b2;n равны нулю, то определитель равен нулю. Если среди b2;2… b2;n есть ненулевой элемент, мы на второе место переставляем строку, в которой содержится этот элемент; при этом следует учесть возможное изменение знака определителя. В получившейся матрице мы теперь имеем b2;20. Прибавим к каждой i-ой строке матрицы первую строку, домноженную на число  b2; i/b2;2. В результате во втором столбце матрицы останутся одни только нули в строках с номерами 3… n. Определитель примет вид:

(1.7)

4 шаг. Совершаем те же самые действия, которые были описаны выше с матрицей

.

В результате мы занулим все элементы, которые стоят в третьем столбце ниже элемента c3;3. И так далее. В конечном итоге мы получим треугольную матрицу, определитель которой вычисляется, как произведение диагональных элементов.

Пример 2. В следующем определителе нам удобнее поставить на первое место четвёртую строку. Для этого нам понадобится поменять её местами поочерёдно с 3, 2 и 1 строками. Это значит, мы совершаем три перестановки строк. Каждая из таких перестановок меняет знак определителя  при полной перестановке знак тоже поменяется.

=  =

Здесь же стрелочками мы обозначили дальнейшие действия: мы ко второй строке определителя прибавляем первую, домноженную на 2, а к четвёртой строке прибавляем первую, домноженную на 3 (сама первая строка, при этом, остаётся без изменений). Мы получили нули в первом столбце ниже главной диагонали. Следующим действием мы должны получить нули во втором столбце ниже главной диагонали.

= =  =

Для этого мы к третьей строке матрицы прибавляем вторую, домноженную на 2, а к четвёртой строке прибавляем вторую домноженную на 3. Следующим действием мы должны получить нули во третьем столбце ниже главной диагонали. В итоге мы получили верхнетреугольную матрицу, определитель которой мы вычисляем, как произведение диагональных элементов.

= = –2·1·(3)·(7) =42.