§7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
Пусть A – произвольная, не обязательно квадратная, матрица. Выберем в ней произвольные s строк с номерами i1, i2,…, is и столько же столбцов с номерами j1, j2,…, js. При этом номера строк и столбцов выбираем в порядке возрастания. На пересечении выбранных строк и столбцов находится квадратная матрица, определитель которой обозначим
Li1i2…is; j1 j2… js . (1.8)
Мы будем называть это число минором, расположенным в строках с номерами i1, i2,…, is и столбцах с номерами j1, j2,…, js. В матрице из примера 2
L24;23 = .
Если матрица A квадратная, то каждому минору вида (6) соответствует дополнительный минор
Mi1i2…is; j1 j2… js .
Это есть определитель матрицы порядка ns, которая получается из матрицы A вычёркиванием выбранных строк и столбцов. Алгебраическим дополнением к минору (5) называется величина
M; ¯i1i2…is; j1 j2… js = (1)i1+i2+…+is+j1 +j2+…+jsMi1i2…is; j1 j2… js .
Другими словами, мы добавляем к дополнительному минору знак минус, в том случае, когда сумма номеров всех выбранных строк и столбцов нечётна. В матрице из примера 2
M24;23 = .
Теорема Лапласа. Выберем в квадратной матрице s номеров строк и составим произведения всех миноров, расположенных в выбранных сроках на их алгебраические дополнения. Определитель рассматриваемой матрицы равен сумме всех составленных произведений.
Определение. Матрица называется распавшейся, если её можно разбить на 4 матрицы следующим образом
, (1.9)
где B и C – квадратные матрицы. Полураспавшейся называется матрица вида
или , (1.9)
где B и C – квадратные матрицы.
Следствие из теоремы Лапласа. Если A – распавшаяся или полураспавшаяся матрица вида (1.9) или (1.9), то detA=detB·detC.
Пример.
= ·
Yandex.RTB R-A-252273-3- Аналитическая геометрия и высшая алгебра
- Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
- §2. Линейные операции над матрицами.
- §3. Линейная зависимость строк и столбцов.
- §4. Определитель матрицы.
- §5. Свойства определителя.
- §6. Приведение к диагональному виду.
- §7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
- §8. Перестановки.
- §9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
- §10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
- §11. Ранг матрицы.
- §12. Умножение матриц.
- §13. Обратная матрица.
- §14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- §15. Ортогональная матрица.
- Задания для самостоятельного решения.
- Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.
- §2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- §3. Многочлены.
- §4. Комплексные матрицы.
- Глава 3. Векторные пространства
- §1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов
- §2. Базис и координаты в векторном пространстве
- §3. Преобразование координат
- §4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- §5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
- §6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.
- Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.
- §2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- §3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- §4. Примеры решения задач.
- Советы по поводу особых ситуаций.
- Задания для самостоятельного решения.
- Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.
- §2. Действия над линейными операторами.
- §3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
- §4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- §5. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции
- §2. Билинейные функции
- §3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду
- §4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
- §5. Пространство Минковского m4.
- Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.
- §2. Группа преобразований плоскости Минковского.
- Используемые сокращения
- Алфавитный указатель Литература