§4. Определитель матрицы.

Понятие определитель (детерминант) вводится только для квадратных матриц. Определитель матрицы A обозначается detA или |A|. Если вместо круглых скобок вокруг матрицы мы поставим прямые палочки, то это тоже означает определитель матрицы. Определитель матрицы – это число, которое необходимо вычислить. Будем вводить понятие определитель по индукции. Определитель матрицы порядка 2 вычисляется по формуле:

= a1;1a2;2  a2;1a1;2 .

Схематично эту формулу можно запомнить так:

Предположим, что мы уже знаем, что такое определитель матрицы порядка n1, а A есть матрица порядка n. Вычеркнем из матрицы A i-ую строку и j-ый столбец. Получится матрица порядка n1. Её определитель обозначим Mj; i. Это число называется минором, дополнительным к элементу aj; i. Добавим к этому минору знак минус в том случае, когда i+j нечётно. Получившееся число называется алгебраическим дополнением к элементу aj; i; мы будем обозначать его M; ¯j; i. Можно записать, что

M; ¯j; i=(1)^i+j Mj; i.

Теперь определитель матрицы A можно вычислить по формуле, которая называется разложением определителя по первой строке:

detA = a1; 1M; ¯1; 1+ a2; 1M; ¯2; 1+…+an; 1M; ¯n; 1. (1.4)

Словами эта формула означает следующее: мы каждый из элементов первой строки матрицы умножаем на его алгебраическое дополнение и получившиеся произведения складываем. Коротко, с помощью знака суммирования эта формула записывается так:

detA = (;\s\do10(j=1 aj; 1M; ¯j; 1. (1.4)

Применительно к матрице порядка 3 формула (1.4) выглядит так:

= a1; 1M1; 1a2; 1M2; 1+a3; 1M3; 1=

= a1; 1  a2; 1 +a3; 1 .

Пример 1.

= 1· – 2· + 3· =

= 1·(5·96·8)  2·(4·96·7) + 3·(4·85·7)=0.

Примем без доказательства, что определитель можно разложить с помощью того же правила по любой другой строке или столбцу, и при этом результат вычисления не изменится. Разложения по i-ой строке и j-ому столбцу выглядят так:

detA = a1; iM; ¯1; i+ a2; iM; ¯2; i+…+an; iM; ¯n; i. (1.5)

detA = aj; 1M; ¯j; 1+ aj; 2M; ¯j; 2+…+aj; nM; ¯j; n. (1.5)