Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Матрицу принято обозначать большой буквой латинского алфавита, а её элементы – такой же маленькой буквой с двумя индексами, первый (или верхний) из которых обозначает номер строки, а второй (или нижний) – номер столбца, в которых находится данный элемент.

Говорим, что матрица имеет размер mn, если в ней m строк и n столбцов. Матрица размера mn в общем виде выглядит так:

Например,

A= – (1.1)

это матрица, состоящая из 2 строк и 4 столбцов. Говорим, что она имеет размер 24. В ней a1;1=1, a2;1=2, а a1;2=6. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и равны между собой все элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрица размера nn называется квадратной матрицей порядка n. Элементы квадратной матрицы, у которых номера строки и столбца совпадают, образуют главную диагональ. Если все элементы, стоящие вне диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы называется единичной и обозначается буквой E. Например, единичная матрица порядка 3 имеет вид

E=.

Обозначим

j; i =

Эта величина называется символом Кронекера. Можно сказать, что элементами единичной матрицы и являются числа j; i.

Если все элементы матрицы, стоящие ниже (выше) главной диагонали равны нулю, то матрица называется верхнетреугольной (нижнетреугольной). Например, следующая матрица является верхнетреугольной:

B=. (1.2)

Матрица, состоящая целиком из нулей называется нулевой и обозначается O.

Транспонированием матрицы A называется такая перестановка её элементов, при которой каждый элемент aj; i меняется местами с элементом ai; j. Матрицу, которая получается в результате транспонирования обозначаем A^T. Например, для матриц (1.1) и (1.2):

A^T=, B^T=.

Другими словами, при транспонировании матрицы меняются ролями строки и столбцы: элементы первой строки матрицы выписываются в первый столбец, элементы второй строки – во второй столбец, и т.д. Для квадратных матриц транспонирование представляет симметрию матрицы относительно главной диагонали. На примере матрицы (1.2) мы показываем, какие элементы меняются между собой местами:

.

Матрица, которая обладает свойством A=A^T, называется симметрической. Симметрической может быть только квадратная матрица, и для всех её элементов выполняется равенство ai; j=aj; i. Матрица, которая обладает свойством A=A^T, называется кососимметрической. Кососимметрической может быть только квадратная матрица, и для всех её элементов выполняется равенство ai; j=aj; i. Для диагональных элементов кососимметрической матрицы мы получаем равенство ai; i=ai; i; значит, обязательно все диагональные элементы равны нулю. Примеры симметрической и кососимметрической матриц:

, .