logo search
ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa

§2. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть теперь на плоскости задана ещё полярная система координат, у которой полярная ось сонаправлена сOx. Пусть (r, )  полярные координаты точки z. Тогда r называется модулем комплексного числа z, а  – его аргументом. Обозначаем r=|z|, =argz.

В соответствии с формулами перехода от полярных координат к декартовым

Значит

z=r(cos+isin).

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа, а запись z=a+bi называется алгебраической формой. Очевидно (например, из чертежа), что z=r(cosisin)=r(cos()isin()).

Пусть два комплексных числа заданы своими уравнениями в тригонометрической форме:

z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2).

Тогда

z1·z2=r1r2(cos1+isin1)·(cos2+isin2)=

=r1r2(cos1cos2sin1sin2)+i(cos1sin2+sin1cos2)=

=r1r2(cos(1+2)+i(sin(1+2)).

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули умножаются, а аргументы складываются. Поскольку деление есть операция обратная умножению, то

= (cos(12)+i(sin(12)).

Пусть z=r(cos+isin). Ещё одним следствием из правила умножения является формула:

zn=rn(cosn+isinn).

Определение. Число  называется корнем n-ой степени из комплексного числа z, если =zn.

Пусть

z=r(cos+isin), =(cos+isin).

Тогда

n(cosn+isinn)=r(cos+isin)

Отсюда

n=r, n=+2k, kZ  =, = , kZ.

Итак,

=(cos +isin ), kZ.

При k=0, 1, …, n1 мы получаем n различных комплексных чисел o,…, n1. Если возьмём k=n, то получим, что

cos = cos(+2)=cos, sin = sin(+2)=sin.

То есть n=o. Аналогично, n+1=1 … и т.д. Таким образом, после k=n1 корни начинают повторяться.

Итак, каждое комплексное число (в том числе и действительное), кроме нуля, имеет ровно n различных корней n-ой степени. Все они расположены на окружности радиуса и делят эту окружность на n равных частей.

Пример. Найти все значения .

Решение. Приведём число к тригонометрической форме:

i=1·(cos + i sin).

Тогда общая формула для всех корней третьей степени:

k=1·(cos +isin )=

=cos ( + k) +isin ( + k), k=0, 1, 2.

Получаем три различных корня:

o=cos +isin = + i ,

1=cos +isin =  + i ,

2=cos +isin =i.