§15. Ортогональная матрица.
Определение. Квадратная матрица Q называется ортогональной, если QTQ=E.
Из определения сразу следует, что для ортогональной матрицы QT=Q1. Это значит, что также выполнено QQT=E.
Элемент [QQT]j; i получается в результате умножения i-ой строки матрицы Q на j-ый столбец матрицы QT, который состоит из элементов j-ой строки матрицы Q. Согласно определению [QQT]j; i=j; i. Итак, мы имеем, что произведение каждой строки матрицы Q на себя должно давать 1, а произведение двух разных строк должно давать 0:
(q1; i)2+(q2; i)2+ … +(qn; i)2=1;
q1; iq1; j+q2; iq2; j+ … +qn; iqn; j=0, ij.
Из определения также получаем, что
detQT·detQ=detE=1.
Но detQT=detQ (detQ)2=1. Значит, для ортогональной матрицы detQ=1.
Примеры ортогональных матриц:
.
Строки ортогональных матриц порядка 3 представляют собой координаты трёх единичных взаимно перпендикулярных векторов в пространстве.
Предложение 5. Если Q1 и Q2– ортогональные матрица, то матрицы Q1T и Q1Q2 тоже являются ортогональными.
Докажем для примера только второе утверждение:
(Q1Q2)T=Q2TQ1T=Q21Q11=(Q2Q1)1.
Предложение 6. Любая ортогональная матрица порядка 2 представима в виде
, если detQ=1,
, если detQ=1.
- Аналитическая геометрия и высшая алгебра
- Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
- §2. Линейные операции над матрицами.
- §3. Линейная зависимость строк и столбцов.
- §4. Определитель матрицы.
- §5. Свойства определителя.
- §6. Приведение к диагональному виду.
- §7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
- §8. Перестановки.
- §9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
- §10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
- §11. Ранг матрицы.
- §12. Умножение матриц.
- §13. Обратная матрица.
- §14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- §15. Ортогональная матрица.
- Задания для самостоятельного решения.
- Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.
- §2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- §3. Многочлены.
- §4. Комплексные матрицы.
- Глава 3. Векторные пространства
- §1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов
- §2. Базис и координаты в векторном пространстве
- §3. Преобразование координат
- §4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- §5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
- §6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.
- Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.
- §2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- §3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- §4. Примеры решения задач.
- Советы по поводу особых ситуаций.
- Задания для самостоятельного решения.
- Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.
- §2. Действия над линейными операторами.
- §3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
- §4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- §5. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции
- §2. Билинейные функции
- §3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду
- §4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
- §5. Пространство Минковского m4.
- Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.
- §2. Группа преобразований плоскости Минковского.
- Используемые сокращения
- Алфавитный указатель Литература