Предел функции.
Определение предел функции по Гейне: число b, называется пределом функции , в точке a, если для любой последовательности значений аргумента сходящихся к точке a, и состоящих из элементов отличных от числа a. Соответствующая последовательность значений функций сходится к числу b.
Если имеет предел в точке a=b, то это записывают в виде:
Определение предела функции по Коши: число b, называется пределом функции , в точке a, если для любого положительного числа , найдётся отвечающее ему положительное число , такое, что для всех значений , следовательно
Неравенство (6) можно представить в равносильном виде , при , последние двойные неравенства, означают, что элемент х берётся в проколотой -окрестности точки .
a
Неравенство 7 означает, что значения функции принадлежат значению -окрестности точки b.
Требование определения Коши, заставляющее брать элементы последовательности отличные от a и равносильные ему требования определения Коши, рассматривать значение аргумента из проколотой -окрестности точки , позволяющей рассматривать пределы функции, даже в тех точках, в которых функция не определена.
Теорема: Определение предела функции по Гейне и Коши равносильны.
При исследовании функций приходится видеть пределы, когда значение аргумента стремится к точке а, принимая значения >a (< a). В этом случае говорят о правых и левых пределах функции f(x) в точке а.
П ример: Рассмотрим функцию
Функция sgn x имеет правый предел в нуле
равный 1.Левый предел в нуле равен -1
Так как для любой последовательности сходящейся к 0 и состоящей из положительных чисел, соответствующая последовательность
Если к 0 и принимает отрицательные значения, то соответствующая последовательность значений функции состоит из -1
Таким образом видим, что функция sgn x имеет односторонние пределы, но не имеет предела в точке 0.
При исследовании функции приходится также видеть пределы при стремлении аргумента к . Дадим определение такого предела по Гейне.
Определение: Число b называется пределом функции f(x) при x ∞ обозначается , если для любой бесконечно большой последовательности значения аргумента {xn}, соответствует последовательность значений функций {f(xn)}.
В некоторых задачах видим пределы при стремлении аргумента:
Из определения функции по Гейне и из соответствия теорем о пределах сходящихся последовательностей вытекают теоремы:
Если функции f(x), g(x) определены на одном и том же множестве и имеют пределы в точке а , то функции имеют пределы в точке, а соответственно равных: b±c, b*c, ,причем в случае частного необходимо потребовать, чтобы предел c, был не равен 0.
Пример 1. ,так как y=x, последовательность значений аргументов совпадает с последовательностью значений функций, , а так как последовательность аргументов сходится к а, то и последовательность значений функций сходится к а
Пример 2.
3. Определитель φ-го вида
Определим предел
Исходя из примеров 1 и 2 и приведённой теоремы, получим, что этот предел будет равен
Пусть наряду с многочленом задан многочлен
Выражение называется рациональной дробью.
Из приведённой теоремы вытекает
Таким образом замечаем, что предел рациональной дроби равен значению дроби в предельной точке ,при этом необходимо потребовать, чтобы .
Функция, обладающая таким свойством, называется непрерывной.
Теорема: Пусть две функции f(x) и g(x) заданы на одном и том же множестве {x} и имеют в точке а предел, соответственно равный b и c, тогда функции f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) имеют в точке а пределы, соответственно равные b+c, b-c, b*c, b/c(в последнем случае c не равно 0).
- Отношение эквивалентности
- Свойства бинарных отношений
- Метод Гаусса . Решение систем линейных уравнений.
- Метод Крамера. Определитель второго и третьего порядков.
- Элементы комбинаторики.
- Свойства числа сочетаний
- Определитель n-го порядка.
- Разложение определителя по строке (столбцу).
- Правило Крамера
- Следствия из теоремы.
- Решение матричных уравнений
- Комплексные числа
- Алгебраические операции над комплексными числами.
- Линейные пространства
- Линейная зависимость векторов .
- Базис. Размерность.
- Ранг матрицы
- Матрица перехода
- Система линейных уравнений
- Теорема Кронекера - Капели
- Система линейных однородных уравнений
- Система однородных уравнений.
- Линейные преобразования
- Евклидово пространство
- Свойства скалярного произведения
- Процесс ортоганизации.
- Векторная алгебра.
- Скалярное произведение векторов в ортогональном базисе.
- Двойное векторное произведение
- Уравнение прямой и плоскости
- Уравнение плоскости
- Некоторые задачи о прямых и плоскостях.
- Уравнение плоскости, проходящее через три заданных числа.
- Расстояние от точки a до плоскости.
- Расстояние от точки до прямой.
- Расстояние между непараллельными прямыми в пространстве.
- Кривые второго порядка
- Уравнение касательной к эллипсу
- Гипербола
- Парабола
- Поверхность второго порядка
- Поверхности вращения
- Эллипсоид
- Конус второго порядка
- Однополостный гиперболоид
- Двуполостный гиперболоид
- Эллиптический параболоид
- Гиперболический параболоид
- Математический анализ
- Абсолютная величина u ее свойства
- Последовательности.
- Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
- Сходящиеся последовательности .
- Монотонные последовательности.
- Число е
- Функция
- Предел функции.
- Непрерывные функции.
- Классификация точек разрыва функции Точка устранимого разрыва.
- Разрыв первого рода (конечный скачок)
- Разрыв второго рода.