Разложение определителя по строке (столбцу).

Пусть некоторый элемент определителя. Алгебраическое дополнение элемента .

Произведение состоит из (n-1)!. Выпишем все элементы i-той строки определителя n-го порядка. .Для каждого элемента строки образуем произведение.

Согласно ранее приведённой теореме в каждом из записанных произведениях содержится (n-1)! слагаемых, которые также являются слагаемыми исходного определителя n-го порядка. Видим, что среди выписанных произведений не может быть одинаковых слагаемых. Подсчитаем число слагаемых выписанном произведении (n-1)!*n=n!

Таким образом, видим, что в выписанном произведении содержаться все слагаемые определителя n-го порядка можем записать

Согласно первому свойству определителя разложение справедливо не только для строк, но и для столбцов. Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема: Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраическое дополнения.

Пример: Вычислить определитель.

Разложим этот определитель по второй строке.

Разложим этот определитель по третьему столбцу.

На практике для вычислении определителя предварительно его упрощают, используя свойство определителя.

Согласно девятому свойству определитель не изменится, если к элементам столбца добавить элемент другого столбца, умноженный на k.