Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.

Определение. Пусть L и L – два векторных пространства. Отображение A:L^– L называется линейным отображением, или линейным оператором, действующим из L в L, если x, yL и R выполнено

1. A(x+y)=Ax+Ay;

2. A(x)=(Ax).

Запись Ax читается так: «оператор A действует на вектор x».

Если линейный оператор A действует из векторного пространства L в это же пространство, то говорим, что A – это линейный оператор, действующий в векторном пространстве L.

Из определения сразу следует, что

A(₁x₁+₂x₂+…+_kx_k)=₁Ax₁+₂Ax₂+…+_kAx_k.

Это значит, линейный оператор переводит линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами.

Примеры. 1. Тождественный оператор J:L^– L действует по правилу: Jx=x xL.

2. Нулевой оператор O:L^– L сопоставляет каждому вектору xL нулевой вектор из этого же пространства.

3. Напомним, что мы обозначали C^o([0,1]) – векторное пространство, состоящее из всех непрерывных на отрезке [0,1] функций. Аналогично C^o(R) обозначает пространство, состоящее из всех функций, непрерывных на всей числовой прямой, а C¹(R) обозначает пространство, состоящее из всех функций, непрерывно дифференцируемых на всей числовой прямой. Оператор дифференцирования D:C¹(R) ^– C^o(R) действует по правилу: Df(t)=f(t), т.е. он сопоставляет каждой функции её производную. Из курса математического анализа вы должны знать, что

D(f(t)+g(t))=Df(t)+Dg(t), D(f(t))=Df(t),

Т

a;\s\up8((

4

O

если мы оба вектора a;\s\up8(( и b;\s\up9(( повернём на угол , то их сумма тоже повернётся на тот же угол; если мы умножим вектор a;\s\up8(( на число , то результат его поворота тоже умножится на это число.

Определение. Образом линейного оператора A:L^– L называется совокупность всех векторов, которые могут получиться в результате его действия:

ImA={yL | y=Ax для некоторого xL}.

Ядром линейного оператора называется совокупность всех векторов, которые под действием этого оператора переходят в нулевой вектор:

kerA={xL | Ax=o;¯}.

Ядро линейного оператора всегда содержит нулевой вектор и поэтому оно не является пустым множеством. Действительно, для любого вектора x выполняется

Ao;¯ =A(0·x)=0·Ax=o;¯.

Примем без доказательства, что ImA является векторным подпространством в L, а kerA является векторным подпространством в L.

Определение. Размерность векторного подпространства ImA называется рангом линейного оператора A и обозначается rankA, rkA или r(A). Размерность векторного подпространства kerA называется дефектом линейного оператора A. Устоявшегося обозначения для дефекта не существует. Мы будем обозначать его d(A).

Определение. Оператор A:L^– L называется инъективным, если каждый вектор yImA имеет не более одного прообраза. Это равносильно тому, что x₁x₂  Ax₁Ax₂. Оператор называется сюръективным, если ImA= L, т.е. если каждый вектор yL имеет прообраз. Такой оператор отображает векторное пространство L на всё L, а не на его часть. Оператор называется биективным, если он является одновременно инъективным и сюръективным. Биективный оператор устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами из L и векторами из L.

Определение. Оператор X:L^– L, который действует по правилу x=Xy  y=Ax называется обратным к оператору A:L^– L и обозначается A^1. Оператор называется обратимым, если у него существует обратный оператор.

Примем без доказательства, что A^1 тоже будет линейным оператором. Биективность оператора является необходимым и достаточным условием его обратимости.

Предложение 1. Линейный оператор является инъективным тогда и только тогда, когда его ядро состоит только из нулевого вектора.

Доказательство. Пусть kerA содержит кроме нулевого вектора ещё и другой вектор x. Тогда Ao;¯ =Ax=o;¯. Значит, оператор не является инъективным.

Обратно, пусть вL существуют два вектора x₁x₂, такие, что Ax₁=Ax₂. Тогда x₁x₂o;¯ и A(x₁x₂)=Ax₁Ax₂=o;¯. Получается, что ядро содержит кроме нулевого вектора ещё и вектор x₁x₂.

В дальнейшем, мы будем рассматривать только линейные операторы, которые действуют в одном векторном пространстве. Следующее предложение принимаем без доказательства.

Предложение 2. Сумма ранга и дефекта линейного оператора A:L^{n –} Lⁿ равна размерности векторного пространства: r(A)+d(A)=n.

Таким образом, если d(A)=0 (т.е. ядро состоит только из нулевого элемента), то r(A)=n и образ ImA совпадает со всем Lⁿ. Значит, если d(A)=0, то оператор является биективным, а значит и обратимым. Биективный линейный оператор A:L^{n –} Lⁿ называется линейным преобразованием векторного пространства Lⁿ.

Пусть в векторном пространстве Lⁿ выбран базис B ={e₁, e₂,…, e_n}. Тогда каждый векторов Ae₁, Ae₂,…, Ae_n можно разложить по базису:

(5.1)

Коротко эти равенства можно записать так:

Ae_i=(;\s\do10(j =1ai;je_j , i=1,…, n. (5.1)

Числа aj;i, i, j=1,…, n образуют матрицу

A= , (5.2)

которая называется матрицей оператора A в данном базисе. Эта матрица полностью определяет действие оператора на любой вектор xL.

Действительно, пусть мы знаем координаты вектора x в данном базисе: x(x¹, x²,… xⁿ)_B и пусть y=Ax. Надо узнать координаты вектора y: y(y¹, y²,… yⁿ)_B. Имеем

Ax=A(x¹e₁+x²e₂+…+xⁿe_n)=x¹Ae₁+x²Ae₂+…+xⁿAe_n=

=x¹(a1;1e₁+a1;2e₂+…+a1;ne_n)+x²(a2;1e₁+a2;2e₂+…+a2;ne_n)+…+

+xⁿ(an;1e₁+an;2e₂+…+ an;ne_n)=

= (a1;1x¹+a2;1x²+…+an;1xⁿ)e₁+(a1;2x¹+a2;2x²+…+a2;nxⁿ)e₂+…+

+(a1;nx¹+a2;nx²+…+ an;nxⁿ)e_n.

Коротко эти же выкладки выглядят так:

Ax=A((;\s\do10(i =1xⁱe_i)=(;\s\do10(i =1xⁱAe_i =(;\s\do10(i =1= (;\s\do10(j =1e_j .

Мы видим, что координаты искомого вектора y можно найти так:

(5.3)

Коротко эти формулы имеют вид:

yⁱ =(;\s\do10(j =1aj;ix^j , i=1,…, n. (5.3)

Если обозначить

X= , Y= –

координатные столбцы, то (3) можно записать в виде одного матричного равенства:

Y=AX. (5.3)

Предложение 3. Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы (без доказательства).

Из предложений 1, 2 и 3 вытекает следующее предложение.

Предложение 4. Линейный оператор A:L^{n –} Lⁿ является биективным тогда и только тогда, когда определитель его матрицы не равен нулю. Это значит, A обратим тогда и только тогда, когда у его матрицы существует обратная матрица.

Из матричной записи (3) получаем X=A^1Y. Таким образом действие обратного оператора задаётся с помощью обратной матрицы. Отметим, что тождественный оператор задаётся с помощью единичной матрицы, а нулевой оператор – с помощью нулевой матрицы.