Уравнение касательной к эллипсу

Пусть , лежит на эллипсе, уравнение которой имеет вид . Проведём через точку производную прямую и найдём координаты второй точки пересечения прямой и эллипса. Прямая называется секущей. Если будет двигаться к , следовательно, получится касательная.

Зададим секущую прямую уравнением:

где t-параметр, - координаты направляющего вектора.

Для нахождения точки , подставим координаты прямой в уравнение эллипса.

=>

Так как точка лежит на эллипсе, то последнее уравнение можно переписать в виде.

, где к – угловой коэффициент.

вынесем параметр t за скобку.

Для определения параметра t, мы должны приравнять каждый множитель к 0. При t=0; получим , приравняв к нулю круглую скобку, найдем координаты точки , для того чтобы точки и совпадали, необходимо потребовать, чтобы значение t=0 обращало в ноль круглую скобку, подставим значение t=0, получим соотношение.

Найдём угловой коэффициент k, определяющий уравнение касательной:

подставляем найденные значения к в уравнение прямой, проходящей через .

-уравнение касательной к эллипсу, проходящее через т.

Обычное уравнение касательной записывается в более симметричном виде. Для этого приводят выражение к общему знаменателю

Замечаем, M₀ лежит на эллипсе, т.е. удовлетворяют уравнению

Уравнение касательной к эллипсу может быть представимо в виде:

- уравнение касательной к эллипсу.

Касательная к эллипсу в точке M₀ (x₀,y₀) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.