Метод Гаусса . Решение систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений :

(1)

Отметим что в системе (1) присутствует S – уравнений и n неизвестных. Натуральные числа S,n ни не связаны друг с другом.

, - некоторые числа в дальнейшем, если не оговорено противное, будем предполагать эти числа вещественными. – неизвестная переменная. Совокупность неизвестных элементов ( , … ) можно рассматривать как упорядоченный n мерный вектор ( , … ).

При исследовании системы (1) рассматривают прямоугольную таблицу коэффициентов, называемую матрицей (А).

(2)

Принято говорить ,что матрица (2) имеет размеры S*n . Добавление к матрице А столбца свободных членов приводит к новой матрице , которую принято называть расширенной матрицей.

Часто, чтобы показать особенность последнего столбца его отделяют вспомогательной черточкой.

Определение: Упорядоченную совокупность чисел ( , … )= (n мерный вектор ) называется решением системы (1) ,если подстановка вместо вектора вектор обращает каждое уравнение системы (1) в тождество.

Определение: Система уравнений называется совместной, если она обладает решением, и несовместной, если она не обладает решением. Совместная система называется определенной, если решение единственно и неопределенной, если решений бесконечное множество.

Определение: Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (равносильными), если они обе несовместны или обе совместны и обладают одинаковыми наборами решений.

Определение: преобразование системы (1) вида:

а)перемена местами уравнения системы.

б)умножение уравнения системы на число отличное от нуля.

в)прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторое число отличного от нуля - называются элементарными.

Покажем, что элементарные преобразования не выводят за пределы классов эквивалента. Для преобразований типа пункт а) и б) это очевидно.

Докажем это утверждение для преобразования в). Для определённости, умножим первое уравнение системы (1) на число , и вычтем его из второго уравнения, в результате придём к системе уравнению вида:

+ +…+ =

+…+ =

…………………………………. (3)

где,

Введём новые обозначения: левую часть первого уравнения системы (1) обозначим символом

Левую часть второго уравнения системы (1) обозначим:

Левую часть второго уравнения системы (3) обозначим =

Согласно новым обозначениям второе уравнение системы (3) можно представить в виде:

Пусть вектор k является решением системы (1).Это означает, в частности что =

и

Очевидно, что все уравнения системы (3),кроме второго, совпадают с соответствующими уравнениями системы (1), так как необходимо показать, что вектор является решением второго уравнения системы (3).

Показали, что каждое решение системы (1) является решением системы (3).Докажем подобное утверждение в обратную сторону. Пусть вектор = является решением системы (3).Нужно показать, что этот вектор является решением системы (1).

И для доказательства достаточно рассмотреть второе уравнение системы (1).Заметим, что второе уравнение системы (1) можно представить в виде: .

Т.к. вектор является решением системы (3),то .

Подставим во второе уравнение системы (1) вектор ,получим =

=

Таким образом показали, что преобразования в, также не выводят за пределы класса эквивалентности. Покажем процедуру, позволяющую находить простейшие представители класса эквивалентности. Пусть , этого всегда можно добиться перенумеровав в случае необходимости порядок переменных в уравнениях системы. Перейдём от системы (1) к системе (4), заменив i-ое уравнение при i>1, линейной комбинацией i-ого и первого уравнения умноженного на коэффициент ,

Заметим, что в левой части i-ого уравнения, после указанного преобразования будет отсутствовать переменная , таким образом, система (4) примет вид:

(4)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Рассматривая подсистему системы (4), без первого уравнения, применили к ней рассмотренную выше процедуру (оставим переменную только в первом уравнении подсистемы, и уберем её из остальных уравнений). Применяя аналогичную процедуру необходимое число раз, найдем канонический вид системы (1), при этом могут возникнуть три случая:

1. В процессе элементарных преобразований может получиться уравнение, в правой части которого стоит число , а все коэффициенты при неизвестных в левой части равны нулю. Получим уравнение вида , в этом случае говорим, что подобное соотношение невозможно и система не имеет решений.

2. Во втором случае исходная система приводится к треугольному виду:

- - - - - - - - - - - - - -

Переменную находят из последнего уравнения системы, подставляя, найденное значение в предпоследнее уравнение, находят неизвестную , поднимаясь, таким образом, находят единственное решение системы уравнений, в этом случае система совместная и определенная. Система приводится к виду трапеции:

В этом случае переменные разделяются. Переменные , образующие треугольник, остаются в левой части, оставшиеся переменные , объявляются свободными параметрами, и переносятся в правую часть уравнения. Решение в этом случае будет зависеть от n-m-параметров. Такое решение называется общим решением системы. Придавая параметрам конкретные числовые значения, получим частное решение. Система в этом случае называется совместной и неопределенной.

Пример:

а) рассмотрим систему

В нашей системе легче начать с переменной, коэффициент которой равен 1.

Система не совместна.

Дадим геометрическую интерпретацию рассмотренной системе. Из школьного курса известно, что каждое уравнение системы определяет плоскость в пространстве x,y,z. Мы имеем 3 непересекающихся плоскости. Данной системе может соответствовать следующее расположение плоскостей:

в)

Эта система совместная и определенная. Эквивалентная система имеет вид:

Геометрически это означает, что 3 плоскости пересекаются в одной точке.

с)

Матрица вида трапеции.

пусть x=t

,

Решение такого типа называется, общим решением →система совместна и неопределенна. Геометрически это означает, что множество решений этой системы образуют некоторую прямую, являющуюся линией пересечения трех плоскостей.