§4. Комплексные матрицы.
Матрица может быть составлена не только из действительных чисел, но и из комплексных чисел тоже. Будем называть такие матрицы комплексными. Заменим в комплексной матрице A все числа на комплексно сопряжённые. Получившуюся матрицу обозначим A; ¯.
Примем без доказательства, что detA; ¯ = detA; ¯¯¯ .
Операции сложения матриц, умножения матрицы на число (комплексное) и умножения двух матриц определяются дословно так же, как и для действительных матриц. Также имеет место равенство detAB=detA·detB.
Определение. Матрица S; ¯T называется сопряжённой к матрице S и обозначается S*. Матрица называется унитарной, если S1=S* SS*=E. Матрица называется эрмитовой, если C*=C.
Эрмитова матрица – это аналог симметрической матрицы для действительных матриц, а унитарная – аналог ортогональной. Для элементов эрмитовой матрицы должно выполняться сj; i=с;¯j; i, i,j=1, 2,…, n.
Для элементов унитарной матрицы сумма модулей элементов одной строки равна 1, а сумма произведений элементов одной строки на сопряженные числа к элементам другой строки равна нулю:
(;\s\do12(i =1sj; is;¯m; i=jm, j,m=1, 2,…, n.
Кроме этого det(S; ¯TS)=detS; ¯T ·detS=detST; ¯¯¯·detS= detS; ¯¯¯·detS=|detS|2. Отсюда detS=1 (в точности, как для ортогональных матриц).
Примеры эрмитовой и унитарной матриц:
, .
- Аналитическая геометрия и высшая алгебра
- Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
- §2. Линейные операции над матрицами.
- §3. Линейная зависимость строк и столбцов.
- §4. Определитель матрицы.
- §5. Свойства определителя.
- §6. Приведение к диагональному виду.
- §7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
- §8. Перестановки.
- §9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
- §10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
- §11. Ранг матрицы.
- §12. Умножение матриц.
- §13. Обратная матрица.
- §14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- §15. Ортогональная матрица.
- Задания для самостоятельного решения.
- Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.
- §2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- §3. Многочлены.
- §4. Комплексные матрицы.
- Глава 3. Векторные пространства
- §1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов
- §2. Базис и координаты в векторном пространстве
- §3. Преобразование координат
- §4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- §5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
- §6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.
- Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.
- §2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- §3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- §4. Примеры решения задач.
- Советы по поводу особых ситуаций.
- Задания для самостоятельного решения.
- Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.
- §2. Действия над линейными операторами.
- §3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
- §4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- §5. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции
- §2. Билинейные функции
- §3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду
- §4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
- §5. Пространство Минковского m4.
- Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.
- §2. Группа преобразований плоскости Минковского.
- Используемые сокращения
- Алфавитный указатель Литература