Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.

Теорема 4.1 (Кронекера-Капелли) Система линейных уравнений

(4.1)

совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы A равен рангу расширенной матрицы A^*.

Напомним, как выглядят матрица СЛУ и её расширенная матрица:

A= , A^*=

Доказательство. Перепишем систему (1) в следующем виде:

x¹ + x² + … + xⁿ= . (4.1)

Если существует решение (¹, ²,…, ⁿ), то, подставив его в (1) получим, что столбец свободных членов B является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Значит, добавление этого столбца к матрице A не увеличивает её ранга  rankA=rank A^*.

Обратно, пустьrankA=rank A^*. Тогда базисный минор матрицы A будет базисным и в A^*. Поэтому столбец B является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы A, а значит, он является линейной комбинацией всех столбцов матрицы A. Коэффициенты этой комбинации и представляют собой решение системы (4.1).

Пусть теперь мы имеем совместную систему (4.1). Выпишем её матрицу A^*. Применяя элементарные преобразования строк, приведём матрицу A^* виду (1.10) из §11 главы 1:

.

При этом, возможно, понадобится совершить перестановку столбцов, а значит, и изменить нумерацию неизвестных. При этом столбец B не понадобится переставлять, т.к. базисный минор можем выбрать полностью из матрицы A. Напомним, что количество строк, которые остаются не вычеркнутыми равно рангу матрицы r.

Выпишем теперь по нашей матрице систему уравнений:

(4.2)

Неизвестные x¹, x²,…, x^r называются базисными (коэффициенты при них входят в базисный минор), а неизвестные x^r+1,…, xⁿ называются параметрическими. Параметрическим неизвестным мы можем придать произвольные значения, а потом найти значения базисных неизвестных о формулам (4.2). Получим частное решение системы.

Если придать параметрическим неизвестным значения произвольных параметров:

x^r+1=¹,…, xⁿ=^nr,

то получим выражение базисных неизвестных через эти параметры. В результате у нас получится общее решение системы:

(d¹ сr+1;1¹– … сn;1^nr, d² сr+1;2¹– … сn;2^nr, ... ,

d^r сr+1; r¹– … сn; r^nr, ¹,…, ^nr), ¹,…, ^nrR.