§4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского

Определение. Пусть в векторном пространстве L задана ещё одна операция, сопоставляющая двум векторам x и y число x·y, так, что выполнены следующие аксиомы.  x, y, z L и R

А11. x·y= x·y;

А12. x·(y + z) = x·y+ x·z ;

А13. (x)·y= (x·y);

А14. x·x0 и x·x=0  x=o.

Тогда данная операция называется скалярным произведением векторов, а пространство L вместе с этой операцией называется евклидовым пространством. Число x²=x·x называется скалярным квадратом вектора x.

Обозначение Eⁿ означает евклидово пространство размерности n.

Если вместо А14 выполнено

А14.  xL  yL такой что x·y0,

то пространство L вместе с такой операцией называется псевдоевклидовым пространством.

Определение. Длиной вектора x в евклидовом пространстве называется число |x|=. Углом между векторами x и y называется такое число , что cos  = . Векторы x и y называются коллинеарными, если  R такое, что y = x. Совокупность всех векторов коллинеарных x обозначаем Rx.

В силу А14 |x| – действительное число, и |x|=0  x=o. Мы знаем, что |cos |1. Поэтому для того, чтобы имело смысл определение угла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

1  |x·y||x|·|y|  (x·y)²|x|²·|y|² 

 (x·y)² (x·x)(y·y) (3.11)

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Докажем его.

1 случай. Векторы x и y не коллинеарны. Тогда  R y  x , т.е. x + y  o. Тогда согласно А14  R

(x + y)·(x + y) > 0  ²(x·x) + 2(x·y) + y·y> 0

Выражение в левой части неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно переменной . Поскольку это выражение строго больше нуля, то для его дискриминанта получаем

= (x·x)(y·y) – (x·y)²<0.

Значит, имеет место (1) со строгим неравенством.

2 случай. x||y. Тогда  R такое, что y = x . Подставим это равенство в (3.11):

(x·x)² (x·x)(x·x)  ²(x·x)²²(x·x)².

Таким образом, имеет место (3.11) со знаком равенства.

Попутно мы выяснили, что равенство в (3.11) достигается тогда и только тогда, когда x||y.

Для векторов в геометрическом пространстве имеет место неравенство треугольника

|x+y||x|+|y| (3.12)

Докажем его для произвольного евклидова пространства. Используя неравенство (3.11) в виде (x·y)²|x|²|y|² получаем

|x+y|²=(x+y)·(x+y)= x²+2x·y +y² |x|²+2|x|²·|y|²+|y|²=(|x|+|y|)².

Остается извлечь корень из обеих частей неравенства. При этом, равенство в (3.12) имеет место тогда и только тогда, когда равенство имеет место в (3.11), т.е. когда x||y.

Определение. Векторы x и y называются ортогональными, если x·y = 0. Пишем xy.

Заметим, что только нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Действительно, если yEⁿ x·y = 0, то это должно быть выполнено и для y=x, т.е. x·x = 0. В силу А14 это равносильно x=o.