Процесс ортоганизации.

Пусть -некоторая система линейно независимых векторов. Эту систему векторов можно рассматривать как базис k-мерного пространства. Установим процесс, позволяющий находить ортогональнальный базис .Выберем вектор .Вектор при условии, что (ортогональный).

Для того, чтобы найти вектор , нужно вычислить ,для этого умножим скалярно .

Вектор .Для определения величин ,умножим

Тогда ;

Продолжая указанный процесс, построим ортогональную систему векторов

Пример: Система векторов задана в ортогональном базисе, с помощью ортогональнализации. Построим ортогональный базис некоторой оболочки, на заданных векторах:

Пусть

Вычислим скалярное произведение:

Построена ортогональная система векторов.

Процесс ортогонанизации позволяет определить геометрический смысл определения матрицы Грамма.

Если пространство одномерное, то любой ненулевой вектор этого пространства

является его базисом. Тогда произведение векторов

Если пространство двумерное, то любая пара линейно независимых векторов образуют базис этого пространства.

В трёхмерном пространстве определитель матрицы Грамма равен квадрату объёма параллелепипеда построенного на заданных векторах.

Обобщая с помощью матричного понятия объёма можно говорить о n-мерном объеме с точки зрения единообразия длину называют одномерным объемом, площать двумерным объемом. Заметим, что если базисные вектора заданы в ортонормированном базисе, то записав координаты векторов в виде матрицы ,

матрицу Грамма можно представить в виде

Переходя к определителям , получим

Взяв координаты векторов в ортогональном базисе и вычислив определитель, найдём величину объёма параллелепипеда, построенного на базисных векторах.