§2. Базис и координаты в векторном пространстве

Определение. Пусть в векторном пространстве L выполнены еще две аксиомы:

А9. Существуют n линейно независимых векторов;

А10. Любые n +1 векторов линейно зависимы.

Тогда говорим, что векторное пространство L имеет размерность n и пишем dimL=n. Для векторного пространства размерности n используется обозначение Lⁿ.

Определение. Базисом в Lⁿ называется любая система, состоящая из n линейно независимых векторов. Векторы, входящие в базис, называются базисными.

Пусть B ={e₁, e₂,…, e_n} – базис в Lⁿ, а xLⁿ – любой вектор. Тогда система {x, e₁, e₂,…, e_n} состоит из n+1 векторов, а значит, эти векторы линейно зависимы. Пусть

_ox +₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ne_n = o, (3.3)

и комбинация нетривиальная. Тогда обязательно _o0. Действительно, предположим противное: _o= 0. Тогда среди ₁, ₂,…, _n есть хотя бы одно ненулевое число, и мы получаем условие линейной зависимости базисных векторов:

₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ne_n = o.

Но эти векторы по определению линейно независимы. Противоречие.

Поэтому _o0. Тогда из (3.3) получаем

x = e₁+ e₂ +…+ e_n .

Обозначим x_i = –_i /_o, i = 1,…, n, и получим что

x = x¹e₁+ x²e₂ +…+ xⁿe_n . (3.4)

Определение. Выражение (3.4) называется разложением вектора x по базису B. Числа x¹, x²,…, xⁿ называются координатами вектора x в базисе B. Пишем: x(x¹, x²,… xⁿ)_B.

Докажем, что разложение (2) единственно. Предположим, что существует ещё одно разложение вектора x:

x = y¹e₁+ y²e₂ +…+ yⁿe_n . (3.4)

Вычтем (3.4) – (3.4):

o = (x¹  y¹)e₁+ (x²  y²)e₂ +…+ (xⁿ  yⁿ)e_n . (3.5)

Мы получили линейную комбинацию базисных векторов, которая равна нулевому вектору. Базисные векторы линейно независимы  эта комбинация является тривиальной, т.е. все скобки в (3.5) равны нулю. Значит x¹=y¹, x²=y²,…, xⁿ=yⁿ, т.е. (3.4) совпадает с (3.4).

Если y = y¹e₁+ y²e₂ +…+ yⁿe_n , то

x + y = (x¹+ y¹)e₁+ (x² + y²)e₂ +…+( xⁿ + yⁿ)e_n ,

x = x¹e₁+ x²e₂ +…+ xⁿe_n .

Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Сопоставим каждому вектору x(x¹, x²,… xⁿ) столбец, составленный из его координат:

x(x¹, x²,… xⁿ)  X = , y(y¹, y²,… yⁿ)  Y = ,

x + y  X +Y = , x  X = .

Мы видим, что операциям над векторами соответствуют точно такие же операции над их координатными столбцами. Поэтому с точки зрения линейной алгебры произвольное векторное пространство Lⁿ устроено точно также, как и Rⁿ. Говорят, что Lⁿ изоморфно Rⁿ или, что Rⁿ является моделью пространства Lⁿ.

Замечание. Более точное определение изоморфизма векторных и евклидовых пространств изучается в курсе алгебры. Рекомендуется также ознакомиться с темой, как изменяются координаты вектора при замене базиса.