§2. Билинейные функции

Определение. Пусть L – векторное пространство. Функция, которая сопоставляет каждой упорядоченной паре векторов (x, y) число f(x, y) называется билинейной функцией или билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу, т.е. если x, x₁, x₂, y, y₁, y₂L выполнено

1. f(x₁+x₂, y)=f(x₁, y)+f(x₂, y);

2. f(x, y₁+y₂)=f(x, y₁)+f(x, y₂);

3. f(x, y)=f(x, y)=f(x, y).

Билинейная функция называется симметрической, если x, yL выполнено f(x, y)=f(y, x).

Пример. Скалярное произведение в Eⁿ является симметрической билинейной функцией.

Пусть билинейная функция f определена на пространстве Lⁿ, B = ={e₁, e₂,…, e_n} – базис в Lⁿ, x=x¹e₁+x²e₂+…+ xⁿe_n, y=y¹e₁+y²e₂+…+ yⁿe_n – произвольные векторы. Тогда

f(x, y)=f((;\s\do10(i=1xⁱe_i,(;\s\do10(j=1y^je_j)=(;\s\do10(ixⁱy^jf(e_i,e_j)=(;\s\do10(ia_ijxⁱy^j, (6.2)

где a_ij=f(e_i,e_j), i,j=1,…, n – постоянные, не зависящие от выбора векторов x и y. Числа a₁, a₂,…, a_n называются коэффициентами линейной функции в базисе B. Из коэффициентов можно составить матрицу

A=.

Тогда

f(x, y)=(x¹ x² … xⁿ) =X^TAY. (6.2)

Если f(x, y) – симметрическая, то f(e_i,e_j)=f(e_j,e_i)  a_ij=a_ji, т.е. A – симметрическая матрица. И наоборот, если матрица билинейной функции симметрическая, то

f(x, y)=(;\s\do10(ia_ijxⁱy^j=(;\s\do10(ia_jiy^jxⁱ=f(y, x).

Например, в двумерном пространстве билинейная функция выглядит так:

f(x, y)=a₁₁x¹y¹+ a₁₂x¹y²+ a₂₁x²y¹+ a₂₂x²y²,

а симметрическая билинейная функция выглядит так:

f(x, y)=a₁₁x¹y¹+ a₁₂(x¹y²+ x²y¹)+a₂₂x²y².

Пусть в пространстве Lⁿ выбран ещё один базис B={e₁, e₂,…, e_n} и C – матрица перехода от B к B. Пусть A – матрица билинейной функции в новом базисе, X, Y координатные столбцы векторов x и y в новом базисе. Имеем

f(x, y)=X^TAY=X^TAY, X=CX, Y=CY. 

(CX)^TA(CY)= X^TAY  X^T(C^TAC)Y=X^TAY

Итак, мы видим, что

A=C^TAC. (6.3)

Это закон изменения матрицы билинейной функции при переходе к новому базису. Напомним, что матрица линейного оператора преобразуется по закону A=C^1AC.

Определение. Пусть f(x, y) – симметрическая билинейная функция. Тогда функция одного аргумента k(x)=f(x,x) называется квадратичной формой. Говорят, что билинейная функция f(x,y) является полярной к квадратичной форме k(x).

Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей полярной ей симметрической билинейной функции и поэтому является симметрической матрицей. По определению, квадратичная форма выглядит так:

k(x)=(;\s\do10(ia_ijxⁱx^j=X^TAX.

В двумерном и трёхмерном пространствах квадратичная форма выглядит так:

k(x)=a₁₁x₁²+ 2a₁₂x¹x²+a₂₂x₂²;

k(x) = a₁₁(x¹)² + a₂₂(x²)² + a₃₃(x³)² + 2a₁₂x¹x² + 2a₁₃x¹x³ + 2a₂₃x²x³.

Функция одной переменной k(x) определяется с помощью симметрической функции двух переменных f(x, y). Оказывается верно и обратное: мы можем найти значение f(x, y) с помощью функции k(x). Имеем

k(x+y)=f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=k(x)+2f(x,y)+k(y).

Отсюда

f(x,y)=(k(x+y)k(x)k(y)).

Теорема 6.1. Для любой симметрической билинейной функции f(x, y), определённой в Eⁿ, существует самосопряжённый оператор A:E^{n –} Eⁿ, такой что

f(x,y)=(Ax)·y.

Доказательство. Пусть {e₁, e₂,…, e_n} – ОНБ в Eⁿ. Пусть A – матрица билинейной функции относительно этого базиса. Рассмотрим оператор A:E^{n –} Eⁿ, который имеет такую же матрицу в данном базисе. Поскольку f(x, y) – симметрическая, то её матрица A – тоже симметрическая. Значит, оператор A – самосопряжённый. Напомним, что для билинейной функции a_ij=f(e_i,e_j), а для оператора a_ij=(Ae_i)·e_j, i,j=1,…, n. Так же

f(x, y)=(;\s\do10(ia_ijxⁱy^j, (Ax)·y=(;\s\do10(ia_ijxⁱy^j.

Правые части этих равенств равны, значит равны и левые части.

Казалось бы, теорема доказана. Но остаётся один важный вопрос. В доказательстве использовался ОНБ в Eⁿ. Если мы выберем другой ОНБ, не получится ли, что той же самой билинейной функции соответствует другой оператор? Мы знаем, что при переходе к новому базису матрица линейного оператора преобразуется по закону A=C^1AC, а матрица билинейной функции – по закону A=C^TAC. Значит, в другом ОНБ оператор A и билинейная функция f(x, y) будут иметь разные матрицы и не будут уже соответствовать друг другу? Значит, в новом базисе билинейной функции должен соответствовать другой оператор? В подобной ситуации математики говорят, что определение нашего оператора некорректно.

Оказывается, наше определение всё-таки корректно. Мы знаем, что переход от одного ОНБ к другому осуществляется с помощью ортогональной матрицыC, т.е. C^T=C^1, а значит, законы преобразования матриц совпадают.