Однополостный гиперболоид

Определение: Однополостный гиперболоид вращения это поверхность вращения гиперболы: . (7)

Из уравнения (7) видим , что ось z является мнимой осью гиперболы .Вращая гиперболу (7) вокруг оси z , согласно уравнению (1) получим поверхность уравнение которого будет иметь вид:

Сжав точки однополостного гиперболоида вращения к плоскости y=0 , получим поверхность уравнение которой будет иметь вид

(8)

Определение: Поверхность, определяемая уравнением (8) называется однополостным гиперболоидом.

С однополостным гиперболоидом связаны замечательные прямые , называемые образующими . Все точки образующей прямой лежат на поверхности однополостного гиперболоида .Через каждую точку однополостного гиперболоида проходит пара пересекающихся образующих .Уравнения образующих прямых можно получить выполнив следующие преобразования уравнением (8).

Перенесём в уравнение (8)переменную у, в правую часть ,в результате получим:

Используя формулу разности квадратов, последнее уравнение получается в виде:

(9)

Исходя из представлений (9),можем записать уравнение прямой, определяемое двумя пересекающимися плоскостями.

(10)

Каждая точка удовлетворяющая системе (10),удовлетворяет выражению (10), и следовательно, лежит на одной гиперболе. Вторую можно задать плоскостями, выбрав другую комбинацию строк:

(11)

Чтобы найти уравнение образующей прямой необходимо подставить координаты точек однополосной гиперболы в систему (10) или (11),и определить пару (М; , определённую с точностью до множителя. Если вместе с гиперболой вращать его асимптоты, то получим поверхность конуса, называемым асимптотическим конусом вращения. После сжатия однополосного гиперболоида вращения, асимптотический конус вращения превращается в асимптотический конус.