§3. Линейная зависимость строк и столбцов.

Строки и столбцы одной матрицы можно рассматривать сами по себе, как матрицы. Поэтому, что такое сумма двух строк (или столбцов) и произведение строки (столбца) на число уже определено. В дальнейшем мы будем говорить в этом параграфе про столбцы, но всё сказанное верно и для строк.

Определение. Пусть p₁, p₂,…, p_k – произвольные столбцы одинаковой высоты (не обязательно взятые из одной матрицы), а ₁, ₂,…, _k – некоторые числа. Выражение

₁ p₁+₂ p₂+…+_k p_k

называется линейной комбинацией столбцов p₁, p₂,…, p_k, а числа ₁, ₂,…, _k называются коэффициентами линейной комбинации. Эта комбинация называется тривиальной, если все её коэффициенты равны нулю. Соответственно, если среди ₁, ₂,…, _k есть хотя бы одно ненулевое число, то линейная комбинация называется нетривиальной.

Определение. Столбцы p₁, p₂,…, p_k называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому столбцу:

₁p₁+₂p₂+…+_kp_k=0. (1.3)

Предположим, что столбцы p₁, p₂,…, p_k линейно зависимы, т.е. выполнено равенство (4.3), где, например, ₁0. Тогда мы можем выразить

p₁= – p₂…– p_k,

т.е. столбец p₁ равен линейной комбинацией столбцов p₂,…, p_k. Обратно, пусть p₁ равен линейной комбинацией столбцов p₂,…, p_k:

p₁=₂p₂+…+_kp_k.

Тогда выполнено

1·p₁+₂p₂+…+_kp_k=0,

т.е. мы имеем нетривиальную (т.к. 10) линейную комбинацию столбцов p₁, p₂,…, p_k равную нулевому столбцу, а значит по определению эти столбцы линейно зависимы. Тем самым мы доказали следующее утверждение.

Предложение 1. Столбцы p₁, p₂,…, p_k линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них равен линейной комбинацией остальных столбцов.

Предложение 2. Если среди столбцов p₁, p₂,…, p_k есть хотя бы один нулевой столбец, то эти столбцы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть, например, p₁=0. Тогда выполнено

1·p₁+0·p₂+…+0·p_k=0.

Получилась нетривиальная (т.к. 10) линейная комбинация, равная нулевому столбцу.