§4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду

Пусть Lⁿ – векторное пространство, p(x) – положительно определённая квадратичная форма, определённая на Lⁿ, а g(x,y) – полярная её симметрическая билинейная функция. Определим для x,yLⁿ

x·y=g(x,y).

Эта операция удовлетворяет всем аксиомам A11-A14 скалярного произведения в евклидовом пространстве. При этом, p(x) – это скалярный квадрат вектора. Таким образом, произвольное векторное пространство, в котором задана положительно определённая квадратичная форма, превращается в евклидово пространство.

Теорема 6.6. Пусть в векторном пространстве Lⁿ определены две квадратичные формы k(x) и p(x), причём p(x) положительно определена. Тогда в Lⁿ существует базис, в котором обе формы имеют диагональный вид, при этом одна из них – канонический вид.

Доказательство. Введём в Lⁿ скалярное произведение с помощью полярной к p(x) билинейной симметрической функции g(x,y), превратив его тем самым в евклидово пространство Eⁿ. Согласно теореме 6.2 существует ОНБ в Eⁿ, относительно которого k(x) имеет диагональный вид. Этот базис и будет искомым. Действительно, g(e_i,e_j)= e_i·e_j=_ij, а это значит, что матрица билинейной функции g(x,y) является единичной. Поэтому p(x) в новом базисе имеет вид

p(x)=(x¹)² + (x²)² +…+ (xⁿ)².

Если мы хотим добиться, чтобы канонический вид имела квадратичная формаk(x), то мы применим процедуру, описанную в теореме 6.3. При этом, p(x) потеряет канонический вид, но сохранит диагональный вид.

На практике приводить две формы каноническому виду можно следующим образом. Пусть A и B – матрицы квадратичных форм f и g, причём g положительно определена. Тогда матрицей самосопряжённого оператора, соответствующего f, будет B^1A (без доказательства). Значит, характеристическое уравнение имеет вид det(B^1AE)=0. Это уравнение имеет такие же корни, что и уравнение

det(AB)=0.

Также система линейных уравнений (B^1AE)X=0 равносильна СЛУ

(AB)X=0.