16.Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом  .

Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1. .

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле:

Здесь  и  определяются, соответственно, из уравнений () = a; () = b, а функции f, ,  должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

Пример: .

Сделаем замену: ln x = t или x = e^t, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим:

.

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.