45.Линейное уравнение первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, правая часть которого линейна как функция от y  а ее коэффициентами могут быть любые непрерывные функции, зависящие от x:

y’ = f (x)y + g(x).

Решение ищется в виде y(x) = u(x)v(x), т.е. вместо одной неизвестной функции вводится две; зато для каждой из них получается более простое уравнение:

y’ = u’ v + v’ u = f (x)uv + g(x)

Приравняем теперь слагаемые попарно:

Возьмемся сперва за верхнее из полученной пары уравнений и сократим его на общий множитель v

u’ = f (x)u.

Это  уравнение с разделяющимися переменными, причем функция u легко выражается в квадратурах:

Теперь второе уравнение также легко сводится к интегралу:

v’ = F^1(x)g(x),

v =

и, таким образом,