50.Дифференциального уравнения n-го порядка.

Дифференциальным уравнением называется равенство вида

F(x, y, y', …, y⁽ⁿ⁾) = 0,

где F(t₁, t₂, …, t_n+2)  функция (n+2)-х переменных, выражающая связь между аргументом x, неизвестной функцией y и ее производными. Порядок n старшей производной, входящей в уравнении, называется порядком уравнения (конечно, не все участники, приведенные в определении, могут реально входить в уравнение: некоторые из производных, и также сама функция y(x) или даже аргумент x могут в уравнении явно не присутствовать).

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка выглядит так:

F(x, y, y') = 0.

семейство функций y = (x, C₁, C₂, ..., C_n) называется общим решением дифферециального уравнения n-го порядка, если при любом выборе значений C₁, C₂, ..., C_n оно является частным решением уравнения. В п. 1.7. выяснится, почему число постоянных C_i должно быть именно равным порядку n.

Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения n-го порядка.

Пусть дан (n+1)-мерный параллелепипед  = {(x₁,…,x_n+1) | a_i<x_i<b_i для всех i=1,…,n+1} и функция f (x₁,…,x_n+1), непрерывная и имеющая непрерывные производные всюду в области . Тогда для любой точки (x₀;y₀;y'₀;…;y₀⁽ⁿ⁺¹⁾) области  существует единственное решение дифференциального уравнения

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', …, y^(n-1)),

удовлетворяющее начальным условиям y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y'₀,…, y⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) = y₀⁽ⁿ⁺¹⁾.