40.Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Дифференциальным уравнением называется равенство вида

F(x, y, y', …, y⁽ⁿ⁾) = 0,

где F(t₁, t₂, …, t_n+2)  функция (n+2)-х переменных, выражающая связь между аргументом x, неизвестной функцией y и ее производными. Порядок n старшей производной, входящей в уравнении, называется порядком уравнения (конечно, не все участники, приведенные в определении, могут реально входить в уравнение: некоторые из производных, и также сама функция y(x) или даже аргумент x могут в уравнении явно не присутствовать).

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка выглядит так:

F(x, y, y') = 0.

Уравнение, преобразованное к виду

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', …, y^(n-1)) для n-го порядка,или y' = f(x, y) для первого порядка,называют разрешенным относительно старшей производной.

Определение. Семейство функций y = (x, C) называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка, если при любом выборе значения константы C = C₀ функция y₀(x) = (x,C₀) является решением уравнения; причем если для точки (x₀; y₀) существует некоторое решение y =y(x) такое, что y₀ = y(x₀), то оно получается из общего решения при некотором значении постоянной C.