64.Системы линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные. Структура решения. Алгоритм решения.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

(2)

Решения системы (2) обладают следующими свойствами:

1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы.

2) Если y₁, z₁, u₁ и y₂, z₂, u₂ – решения системы, то y₁ + y₂, z₁ + z₂, u₁ + u₂ – тоже являются решениями системы.

Решения системы ищутся в виде:

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на e^kx, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k₁, k₂, k₃. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):

Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):