32.Градиент.

Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Градиент функции указывает направление максимальной скорости изменения функции.

Производная по направлению.

Определение: Предел называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами ( x, y, z).

Пример. Вычислить производную функции z = x² + y²x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 .

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:

=

За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cos = ; cos = -

Окончательно получаем: - значение производной заданной функции по направлению вектора .