36.Билинейная и квадратичная форма

Квадратичной формой называется функция B(x) = A(x,x) из линейного пространства L над произвольным полем F характеристики не 2 в поле F, которая получается из билинейной формы A(x,y) при x = y.

При фиксированном базисе в L квадратичная форма имеет вид

где , а a_ij = a_ji.

Матрицу (a_ij) называют матрицей квадратичной формы в данном базисе.

Свойства

Симметричную билинейную форму A(x,y), называют полярной квадратичной форме A(x,x). Матрица билинейной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе - вырожденной.

Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Квадратичная форма A(x,x) называется квазизнакоопределённой, если , но форма не является знакоопределённой.

Билинейной формой (также: функционалом, функцией) называется функция или

(где L — произвольное линейное пространство, обычно соответственно над или ),

линейная по каждому из аргументов:

,

,

,

.

Билинейная форма (функционал) называется симметричной, если для любых выполнено ,

билинейная форма(функционал) называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых выполнено

Свойства

Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной.

При выбранном базисе в L любая билинейная форма однозначно определяется матрицей

так что для любых и

то есть

37.Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу (aij). Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её угловые миноры Δi положительны, отрицательно определена, если и только если их знаки чередуются, причём Δ1 < 0, и неотрицательно определена если и только если все её главные миноры неотрицательны.

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

критерий Сильвестра:

1)Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

2)Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид: A(x,x) = λ_i(xⁱ)². Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используется метод Лагранжа.