65.Преобразование Лапласа.

(Пьер Симон Лаплас (1749 – 1825) – французский математик)

Рассмотрим функцию действительного переменного t, определенную при t  0. Будем также считать, что функция f(t)- кусочно - непрерывная, т.е. в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва первого рода, и определена на бесконечном интервале (-, ), но f(t) = 0 при t < 0.

Будем считать, что функция ограничена условием:

Рассмотрим функцию

где p = a + ib – комплексное число.

Определение. Функция F(p) называется изображением Лапласа функции f(t).

Также функцию F(p) называют L – изображением или преобразованием Лапласа.

Обозначается

При этом функция f(t) называется начальной функцией или оригиналом, а процесс нахождения оригинала по известному изображению называется операционным исчислением.

Теорема. (Теорема единственности) Если две непрерывнные функции f(x) и g(x) имеют одно и то же L – изображение F(p), то они тождественно равны.