Входная информация

Понятие квадратного уравнения. Одним из важнейших понятий школьного курса алгебры является понятие квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х– переменная, а, b, с – некоторые действительные числа, причем а ≠ 0.

Числа a, b и с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом и с – своодным членом.

Примеры квадратных уравнений:

Квадратное уравнение называется неполным, если коэффициент b или свободный член равен нулю.

Из определения следует, что неполные квадратные уравнения могут быть трех видов:

1) =0;

2) ax²+ c = 0, где c ≠ 0;

3) ax²+ bx = 0, где b ≠ 0.

Учимся решать неполные квадратные уравнения.

1. Уравнение ах²= 0 имеет единственный корень х= 0. Поскольку а ≠ ≠ 0, а из ax² = 0 следует, что x²= 0, и потому х = 0.

2. Уравнение ax²+ c = 0 (с ≠ 0) равносильно уравнению Возможны два случая.

а) Если < 0, то уравнение не имеет корней, ибо квадрат любого действительного числа неотрицателен.

б) Если > 0, то уравнение имеет два корня:

,

Пример 1. Решим уравнение .

Решение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на – 2:

–2x² = – 14

x² = 7

.

Ответ: .

3. Уравнение ax² +bx = 0 (b≠ 0) равносильно уравнению х(ах+ b)= = 0, откуда или .

Пример 2. Решим уравнение 5x² + 3x = 0.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: x(5x + 3)=0. Откуда x = 0 или 5x + 3 = 0, т.е. .

Ответ: – 0,6; 0.