Нематематики о математике

Процветание и совершенство математики тесно связано с благосостоянием государства.

Наполеон

Математики похожи на французов: что бы вы ни сказали, они все переведут на свой собственный язык. Получится нечто противоположное.

Гёте

Модуль 3.

Арифметический квадратный корень

УЭ-1. Арифметический квадратный корень и его свойства

Ваша цель: знать определение арифметического квадратного корня его свойства и уметь применять их при решении задач.

Входная информация

Понятие арифметического квадратного корня.

Знак равносильности « » читается: «тогда и только тогда, когда».

Свойства арифметического квадратного корня.

1. где ;

2. ;

3. , где , ;

4. , где , ;

5. , если ;

6. , если и n – четное натуральное число.

Учимся решать задачи.

Пример 1. Доказать, что верно равенство .

Доказательство. Так как и , то – верное числовое равенство.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. По условию задачи арифметический квадратный корень из переменной равен 3. Число 3 – неотрицательное. Следовательно, , откуда .

Ответ: .

Заметим, что решить уравнение – значит найти множество его корней; поэтому ответ при решении уравнения из примера 2 записан в такой форме.

Пример 3. Доказать, что уравниние не имеет корней.

Доказательство. 1-й способ. Уравнение не имеет корней, так как отрицательное число –3 не может быть значением арифметического квадратного корня.

2-й способ. Выражение , стоящее в левой части уравнения, может принимать только неотрицательные значения, а в правой части находится отрицательное число. Поэтому ни при каком значении равенство не может быть верным. Значит, уравнение корней не имеет.

Пример 4. Сократить дробь .

Решение. Представим числитель данной дроби в виде разности квадратов:

.

Тогда имеем:

.

Пример 5. Вычислим:

.

Так как , а , то имеем: