Входная информация
Способ 1. Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:
,
где — дискриминант квадратного уравнения.
Возможны три случая:
1) D < 0. Тогда такое квадратное уравнение корней не имеет.
2) D = 0, Тогда такое квадратное уравнение имеют один корень: .
3) D > 0. Тогда такое квадратное уравнение имеет два различных корня
или .
Итак,
Чтобы решить квадратное уравнение , достаточно:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
2) ; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет;
3) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней
Учимся решать квадратные уравнения
Пример 1. Решим уравнение
Решение. В этом уравнении a = 2, b = –3, с = – 5. Вычислим дискриминант:
Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня:
Ответ: –1; 2,5
.
Условимся в дальнейшем при решении уравнений ответ записывать так:
если, например, корнями уравнения являются числа α и β, то ответ записывать: .
или указывать множество корней уравнения в виде
Итак, в зависимости от дискриминанта квадратное уравнение может иметь два различных корня (D > 0) , один корень, два равных корня (D = = 0 ) или не иметь корней (D < 0).
Способ 2. Если в уравнении ax²+bx+c=0 дискриминант неотрицателен и второй коэффициент b – число вида 2k, где R, то формула корней принимает более удобный для вычисления вид:
Выведите ее самостоятельно.
Пример 2. Решим уравнение
Решение. Вычислим дискриминант по формуле: :
, D > 0.
Тогда:
.
Ответ: .
Способ 3. Пусть нужно решить приведенное квадратное уравнение.
Напомним, что если для квадратного уравнения a = 1, то его называют приведенным квадратным уравнением. Его часто записывают в более простой форме:
, где .
Если D > 0, то приведенное уравнение имеет два корня:
, или .
Итак, корни приведенного квадратного уравнения при положительном дискриминанте равны половине второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.
Если , то приведенное квадратное уравнение имеет один корень:
.
Если , то приведенное уравнение действительных корней не имеет.
Пример 5. Решим уравнение .
Решение. Запишем формулу для нахождения корней приведенного уравнения:
.
Ответ: –1; 5.
Способ 4. Между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями существует зависимость, которая была установлена известным французским математиком Франсуа Виетом (1540–1603). Сформулируем ее для приведенного квадратного цуравнения.
Теорема 1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
Теорема 2. Если числа и таковы, что их сумма равна , а произведение равно , то эти числа являются корнями уравнения .
Используя теорему, обратную теореме Виета, можно находить корни приведенного квадратного уравнения без использования формулы, а путем подбора.
Пример 6. Найдем корни уравнения .
Решение. Подберем такие числа и , что .
По теореме, обратной теореме Виета , числа 1 и 7 будут корнями уравнения .
Ответ: и .
Практическая часть
Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.
Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».
1. Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты:
а) 3х2 – 7х + 5 = 0; в) 12х – 5х2 + 3 = 0; д) 7х – х2 = 0;
б) –х2 + х – 7 = 0; г) 9х – 6 + х2 = 0; е) х2 – 9 = 0.
2. Найдите значение выражения b2– 4ас при:
а) а = 2, b = 1, с = 3; б) а = 3, b = 4, с = –5.
3. Не решая уравнения, укажите, сколько корней оно имеет:
а) х2 + 3х + 5 = 0; в) х2 – 4х + 4 = 0; д) 3х2 – 8х + 5 = 0;
б) 2х2 + 5х + 2 = 0; г) 2х2 + 4х – 8 = 0; е) 4х2 + 3х – 1 = 0.
4. Докажите, что число –1 является корнем уравнения:
а) х2 – 1 = 0; б) х2 + х = 0; в) 7х2 + 5х – 2 = 0.
5. Докажите, что:
а) если х = 1 – корень уравнения ах2 +bх + с = 0, то а + b + с = 0;
б) если х = –1 – корень уравнения ах2 +bх + с = 0, то а – b + с = 0.
6. Замените данное уравнение, равносильным приведенным квадратным уравнением:
а) 3х2 – 12х + 21 = 0; в) 2х + 0,5х2 – 3 = 0;
б) 2х2 – 6х + 5 = 0; г) –х2 + х – 9 = 0.
7. При каких значениях параметра а уравнение
(а2 – 6а + 9)х2 – (а2 – 4)х + (1 + 2а + а2) = 0
является приведенным уравнением?
8. Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) 3х2 + 6х + 10 = 0; б) х2 – 4х + 5 = 0.
9. Найдите значение а в уравнении х2 – х + а2 – 2а + 1 = 0, если оно имеет корнем число 0.
10. Один из корней уравнения х2 + 14х + q = 0 равен 20. Найдите q.
С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.
Задание 2. Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число его корней:
а) ; г) ;
б) ; д) ;
в) ; e) .
Задание 3. Решите уравнение:
а) ; д) ;
б) ; е) ;
в) ; ж) ;
г) ; з) .
Задание 4. Решите уравнение:
а) ; д) ;
б) ; е) ;
в) ; ж) ;
г) ; з) .
Задание 5. Решите уравнение:
а) 2x – (x–4)2= x + 2;
б) (x – 2) = x + 4 + 2(x – 5)(x + 5) ;
в) (х – 5)(х – 2) = 2х (х – 8) ;
г) .
Задание 6. При каких действительных значениях х;
а) трехчлен 4х2 – 5x – 4 принимает значение, равное 2;
б) двучлен 3x – 1 равен двучлену ;
в) значения многочленов x2+ 2x – 8 и 2x2 – 4х равны;
г) трехчлен равен двучлену 3x – 5 ?
Задание 7. Найдите корни уравнения:
а) 4x2 = 4x – 3; д) (2х + 1) (2х + 2) = 56;
б) (x – 2)(12 – x) = 9; e) ;
в) (х–2)2 = 2(3x – 10); ж) (x + l)2 = 3(x + 7);
г) (x – 2) + (l – x ) = –1; з) (2x–l) – (2x – 4) = 9.
Задание 8. Решите уравнение, используя формулу с коэффициентом вида 2k:
а) ; г) ;
б) ; д) ;
в) ; e) .
Задание 9. Решите уравнение:
а) ; г) ;
б) ; д) ;
в) ; e) .
Задание 10. Найдите корни уравнения:
а) ;
б) (8х – 1)(3х + 5) – (2х – 1)(8x + 6) = 33x + 53;
в) (5x – 7)(8x + l) = (8x + 1) ;
г) (1,2 – x) + (x + 0,8) = 2(6x – 0,2) .
Задание 11. Решите уравнение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Задание 12. Найдите корни уравнения и укажите их приближенные значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,1 по недостатку:
а) ; в) ,
б) ; г) .
Задание 13. Решите уравнение:
а) ; в) ;
б) ; г) .
Задание 14. Решите уравнение:
a) ; б) .
Задание 15. Решите уравнение:
а) ; б) .
Задание 16. Решите уравнение:
а) ; в) ;
б) ; г) .
Задание 17. Решите уравнение:
а) ; в) ;
б) ; г) .
Задание 18. Решите уравнение (х – переменная, а – параметр):
а) ; в) ;
б) ; г) .
Задание 19. При каких значениях k уравнение имеет равные корни?
Задание 20. Найдите значения k, при которых уравнение имеет равные корни.
Задание 21. Докажите, что уравнение при любом р имеет два корня.
Задание 22. Докажите, что уравнение при a ≠ 0 и любом b имеет два различных корня.
Задание 23. Решите приведенное квадратное уравнение:
а) ; д) ;
б) ; е) ;
в) ; ж) ;
г) ; з) .
Задание 24. Сократите дробь:
а) б) в) .
Задание 25. Решите уравнение:
а) б)
- Модуль 1. Числовые и линейные неравенства
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Входная информация
- Практическая часть
- «Линейное неравенство с одной переменной»
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Линейных неравенств
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- 10 Класс.
- Рубрика «Ваш помощник»
- Сводящихся к линейным неравенствам
- Входная информация
- 1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному;
- 2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное исходному;
- 3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное исходному.
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Краткие исторические сведения о неравенствах
- Интересно знать
- Кто сильнее?
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика “Ваш помошник”
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Практическая часть
- 5) Найденные множества решений объединяют и записывают ответ.
- Практическая часть
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика “Ваш помощник”
- Входная информация.
- Рубрика “Ваш помощник”
- Краткие исторические сведения о неравенствах
- Интересно знать
- Кто сильнее?
- Нематематики о математике
- Практическая часть
- Содержащих квадратные корни
- Входная информация
- Практическая часть
- Входная информация
- Входная информация
- Математическая мозаика Из истории введения действия извлечения квадратного корня из числа
- Интересные задачи
- Софизмы
- А. Эйнштейн
- Модуль 4.
- Квадратные уравнения.
- Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Рубрика «Ваш помощник»
- На линейные множители
- Входная информация
- Упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Уэ 5. Теорема Виета
- Входная информация
- Рубрика «Ваш помщник»
- Входная информация
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- С целыми коэффициентами
- Практическая часть
- Учимся доказывать теоремы
- Содержание