Входная информация
Метод промежутков является наиболее универсальным способом решения неравенств. Однако в некоторых случаях целесообразно использовать другие методы.
Метод равносильных переходов. Используют равносильные переходы, позволяющие избавиться от знака модуля. Приведем некоторые из них, применяемые при решении простейших неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
1. Если , то .
2. Если , то неравенство решений не имеет.
Учимся решать неравенства различными способами.
Пример 1. Решим неравенство:
|x – 1| < 3.
Решение.
1-й способ. Поскольку |x – 1| можно рассматривать как расстояние на координатной прямой между точками х и 1, то по условию задачи нужно указать на координатной прямой все точки х, которые удалены от точки 1 меньше чем на 3 единицы (рис.8 ).
Отсюда находим множество решений неравенства: (–2; 4).
2-й способ. Поскольку
|x – 1| =
то заданное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
или
Из первой системы получаем, что 1 £ х < 4, а из второй – что –2<x<1. Объединив промежутки (–2; 1) и [1; 4), получаем (–2; 4) – решение заданного неравенства.
3-й способ. Данное неравенство |x – 1| < 3 равносильно двойному неравенству –3 < x – 1 < 3, т.е. –2 < x < 4.
Ответ: (–2; 4).
1. Если , то .
2. .
3. Если , то неравенство решений не имеет.
1. Если , то .
2. Множество решений неравенства совпадает с областью определения выражения , из которой исключены корни уравнения .
3. Если , то множество решений неравенства совпадает с областью определения выражения .
1. Если , то .
2. Если , то множество решений неравенства совпадает с областью определения выражения .
Рассмотрим некоторые из них на примере решения неравенств вида , где вместо знака < может стоять любой из знаков .
Пример 2. Решить неравенство
|2x + 5| ³ 6.
Решение. 1-й способ. Разделив обе части данного неравенства на положительное число 2, получим равносильное неравенство
|2x + 2,5| ³ 3.
Задачу можно переформулировать так: на координатной прямой найти все такие точки х, которые удалены от точки –2,5 на расстояние, большее или равное 3 (рис. 9.29). Получаем: x £ –5,5 либо х ³ 0,5, т.е. объединение числовых промежутков (–¥; –5,5] и [0,5; +¥) является решением данного неравенства.
2-й способ. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств
Выполнив равносильные преобразования, получим: х ³ 0,5 либо x £ –5,5. Объединив решения полученных неравенств, получим ответ.
Ответ: (–¥; –5,5] U [0,5; +¥).
Задание. Решите неравенство |2x + 5| ³ 6 третьим способом, основанным на раскрытии знака модуля.
- Модуль 1. Числовые и линейные неравенства
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Входная информация
- Практическая часть
- «Линейное неравенство с одной переменной»
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Линейных неравенств
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- 10 Класс.
- Рубрика «Ваш помощник»
- Сводящихся к линейным неравенствам
- Входная информация
- 1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному;
- 2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное исходному;
- 3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное исходному.
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Краткие исторические сведения о неравенствах
- Интересно знать
- Кто сильнее?
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика “Ваш помошник”
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Практическая часть
- 5) Найденные множества решений объединяют и записывают ответ.
- Практическая часть
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика “Ваш помощник”
- Входная информация.
- Рубрика “Ваш помощник”
- Краткие исторические сведения о неравенствах
- Интересно знать
- Кто сильнее?
- Нематематики о математике
- Практическая часть
- Содержащих квадратные корни
- Входная информация
- Практическая часть
- Входная информация
- Входная информация
- Математическая мозаика Из истории введения действия извлечения квадратного корня из числа
- Интересные задачи
- Софизмы
- А. Эйнштейн
- Модуль 4.
- Квадратные уравнения.
- Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Рубрика «Ваш помощник»
- На линейные множители
- Входная информация
- Упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Уэ 5. Теорема Виета
- Входная информация
- Рубрика «Ваш помщник»
- Входная информация
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- С целыми коэффициентами
- Практическая часть
- Учимся доказывать теоремы
- Содержание