Входная информация
Рассмотрим некоторые подходы к решению уравнений высших степеней.
Простейшие уравнения. сводящиеся к квадратным. Многие уравнений с помощью метода введения новой переменной можно свести к квадратному уравнению, к их системе или совокупности таких уравнений.
Пример1. Решим уравнение .
Решение. Вводим новую переменную , тогда , откуда и . Далее имеем:
1) , т.е. . Его корни: .
Ответ: .
Пример 2. Решим уравнение
.
Решение. Введем подстановку , тогда данное уравнение примет вид y (y + 1) – 12 = 0, т.е. . Отсюда находим y = – 4 или y = 3.
Чтобы найти значения переменной x, нужно решить уравнения и , после чего объединить их корни. Решая полученные квадратные уравнения, находим: , .
Ответ: –2; 1.
Решение уравнений вида (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = т , где a + b = c + d (или а + с = b + d или a + d = b + c). Рассмотрим конкретный пример.
Пример 3. Решить уравнение
(х + 4) (х + 5) (х + 7) (х + 8) = 4.
Решение. Заметим, что 4 + 8 = 5 + 7. Перемножив в левой части уравнения выражения, стоящие в первой и четвертой скобках, а также выражения, стоящие во второй и третьей скобках, получим:
.
Сделаем замену . Тогда y (y + 3) = 4, или , откуда у = – 4 или y = 1.
Таким образом, исходное уравнение сводится к совокупности уравнений:
или т.е.
или .
Решая эту совокупность уравнений, получаем:
Ответ: .
Решение уравнений вида
Итак, уравнение (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = т приводится к квадратному методом подстановки, если a + b = c + d (или а + с = b + d или a + d = b + c).
Решение уравнений вида . Рассмотрим конкретные примеры.
.
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение. Пусть х – 4,5 = y + k, х – 5,5 = у – k(*). Вычитая из первого равенства второе, получаем k = 0,5. Тогда х – 4,5 = у + 0,5, . х - 5,5 = = у– 0,5. Относительно у уравнение примет вид:
,
или .
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим биквадратное уравнение:
,
;
;
, т.е. .
Тогда из формул (*) находим решение исходного уравнения.
Ответ: 4,5; 5,5.
Итак, уравнение приводится к биквадратному заменой .
Пример 5. Решить уравнение
.
Решение. Введем подстановку х = у – 4 и данное уравнение перепишем так:
.
Выполним преобразования:
,
,
.
Откуда , или . Отсюда находим, что .
Из равенства х = у – 4 имеем: или .
Ответ: –3; –5.
Метод выделения полного квадрата. Для решения некоторых уравнении, сводящихся к квадратным, используется метод выделения полного квадрата.
Пример 6. Решим уравнение
.
Решение. В левой части данного уравнения выделим полный квадрат:
,
.
Введем подстановку . Тогда относительно переменной у уравнение примет вид: , откуда получаем: y = 1 и y = 3.
Если у = 1, то , . Откуда находим:
Если у = 3, то , . Откуда находим: .
Ответ: .
Метод разложения левой части на множители. Если левую часть уравнения вида f(x) = 0, где f(x)– многочлен удается разложить на множители, то решение такого уравнения сводится к решению совокупности алгебраических уравнений_меньшей степени.
Заметим, что решить совокупность уравнений с одной переменной (f(x)= 0 или g(x) = 0) – значит найти все числа, являющиеся решением хотя бы одного уравнения, входящего в данную совокупность, или доказать, что таких чисел не существует. Совокупность уравнений f(x) = 0 и g(x) = 0 символически можно записать так:
либо f(x) = 0 или g(x) = 0.
Пример 7. Решить уравнение
.
Решение. Сгруппируем первые три члена уравнения и вынесем за скобку:
или ;
,
или .
Решений нет. .
Ответ: .
Пример 8. Решить уравнение
.
Решение. Применив группировку, запишем уравнение в виде:
.
Выделим полные квадраты в каждой скобке, не нарушив равносильности уравнений:
, т. е.
.
Откуда имеем:
.
Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
или .
Корнями первого уравнения являются числа , а второе уравнение решений не имеет.
Ответ: .
Решение возвратных уравнений. Некоторые уравнения имеет особенность: коэффициенты, равноудаленные от начала и конца многочлена, стоящего в левой части уравнения, равны между собой. Уравнения с такой особенностью называются возвратными. На примере покажем способ решения возвратного уравнения третьей степени.
Пример 9. Решить уравнение
.
Решение. Применив группировку, запишем данное уравнение в виде:
,
т.е. ,
откуда
,
-
или
.
Ответ: .
Заметим, что уравнение вида равносильно уравнению , т. е. уравнению которое легко решается
Практическая часть
С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.
Задание 1. Решите уравнение:
а) ,
б) .
Задание 2. Решите уравнение, введя новую переменную:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
Задание 3. Решите уравнение:
а) ,
б) ;
Задание 4. Решите уравнение:
а) ,
б) .
Задание 5. Решите уравнение:
а) ;
б) .
Задание 6. Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Задание 7. Решите уравнение:
а) ;
б) ;
в) .
Задание 8. Решите уравнение:
а) ;
б) .
Задание 9. Решите уравнение:
а) ;
б) .
Задание 10. Решите уравнение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
УЭ- 9. Задачи нахождение целых корней многочлена
- Модуль 1. Числовые и линейные неравенства
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Входная информация
- Практическая часть
- «Линейное неравенство с одной переменной»
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Линейных неравенств
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- 10 Класс.
- Рубрика «Ваш помощник»
- Сводящихся к линейным неравенствам
- Входная информация
- 1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному;
- 2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное исходному;
- 3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное исходному.
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Краткие исторические сведения о неравенствах
- Интересно знать
- Кто сильнее?
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика “Ваш помошник”
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Практическая часть
- 5) Найденные множества решений объединяют и записывают ответ.
- Практическая часть
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика “Ваш помощник”
- Входная информация.
- Рубрика “Ваш помощник”
- Краткие исторические сведения о неравенствах
- Интересно знать
- Кто сильнее?
- Нематематики о математике
- Практическая часть
- Содержащих квадратные корни
- Входная информация
- Практическая часть
- Входная информация
- Входная информация
- Математическая мозаика Из истории введения действия извлечения квадратного корня из числа
- Интересные задачи
- Софизмы
- А. Эйнштейн
- Модуль 4.
- Квадратные уравнения.
- Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Рубрика «Ваш помощник»
- На линейные множители
- Входная информация
- Упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Уэ 5. Теорема Виета
- Входная информация
- Рубрика «Ваш помщник»
- Входная информация
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- С целыми коэффициентами
- Практическая часть
- Учимся доказывать теоремы
- Содержание