Входная информация

Сущность метода промежутков. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, часто решают, используя метод промежутков. Сущность метода промежутков состоит в следующем:

1) находят нули подмодульных выражений;

2) разбивают координатную прямую нулями подмодульных выражений на промежутки;

3) на каждом полученном промежутке уравнение записывается без знака модуля и решается с учетом их;

4) найденные множества решений объединяются и записывают ответ.

Учимся решать уравнения с модулем методом промежутков. Рассмотрим пример.

Пример 1. Решим уравнение

|х – 1| + |х – 2| = x.

Решение. Выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль при х = 1 и х = 2. Заметим, что такие числа часто называют нулями подмодульных выражений. Они разбивают координатную прямую на промежутки.

В нашем случае первый промежуток включает в себя все точки, лежащие левее А; второй промежуток содержит в себе точки А и В, а также все точки, лежащие между ними; третий промежуток состоит из всех точек, лежащих правее В (рис.7 ).

Заметим, что концы полученных промежутков можно относить к любому из смежных промежутков.

Будем искать решения данного уравнения на каждом из промежутков. Для этого решим три системы:

1) Û . Решений нет.

2) Û Û (x = 1).

3) Û Û (x = 3).

Ответ: 1; 3.