Входная информация

Понятие действительного числа. Число, которое может быть представлено в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, называется иррациональным.

Примерами иррациональных чисел являются:

1. число 7,030033000333…

2. число , бесконечная непериодическая дробь

3,141592653689793…;

3) число 0,101001000100001…, у которого за каждой единицей идет группа нулей, содержащая на один больше, чем предыдущая группа.

Множество бесконечных непериодических дробей (положительных и отрицательных) образует множество иррациональных чисел.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел. Это множество обозначают буквой R.

Любое действительное число представляется в виде бесконечной десятичной дроби: , … …, где – целое число, , , , …, – цифры.

Соотношения между числовыми множествами N, Z, Q и R. Оно представлено на схеме :

Разбиение множества всех действительных чисел на непересекающиеся подмножества показано на схеме 2.

Целые отрица-тельные числа

Понятие противоположных чисел. Два действительных числа называют противоположными, если их сумма равна 0.

Например, – 3 и 3; и – противоположные числа.

Число 0 противоположно самому себе.

Понятие взаимно обратных действительных чисел. Взаимно обратными числами называют два действительных числа, произведение которых равно 1.

Например, и ; и ; и – взаимно обратные числа.

Число 1 обратно самому себе. Для числа 0 обратного числа не существует.

Сравнение двух действительных чисел. Число больше числа , и пишут > , если разность – положительное число; если же разность – отрицательное число, то говорят, что число меньше числа , и пишут < ; число равно числу , если .

Для любых заданных действительных чисел и имеет место одно и только одно из соотношений: < , , > .

При сравнении двух бесконечных десятичных дробей (не имеющих периода 9) пользуются следующим правилом.

, … < , …,

если и < при всех < ( = 0, 1, 2, 3, …).

Заметим, что если целые части двух десятичных дробей разные, то та дробь больше, у которой целая часть больше. Если целые части одинаковы, то надо обратиться к наименьшему разряду, для которого цифры дробей различны: та из дробей больше, у которой цифра этого разряда больше.

Действия над действительными числами. Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

При выполнении действий в практических задачах действительные числа заменяют их приближенными значениями. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения, получают более точное значение результата.

Свойства действий над действительными числами:

1. – переместительный закон сложения;

2. – сочетательный закон сложения;

3. ;

4. ;

5. – переместительный закон умножения;

6. – сочетательный закон умножения;

7. – распределительный закон умножения относительно сложения;

8. ;

9. , где ;

10. .

Понятия среднего арифметического и среднего геометрического действительных чисел. Средним арифметическим нескольких чисел называют число, которое получается при делении суммы этих чисел на число слагаемых.

Например, среднее арифметическое чисел 30, 70 и 95 есть число, равное числу , т.е. числу 65.

Средним геометрическим положительных чисел , , …, называют корень -ой степени из произведения этих чисел, т.е. .

Обобщенное неравенство Коши имеет вид:

.