Входная информация

Учимся решать задачи.

Выражение вида называют двойным, или сложным радикалом.

Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то можно в двойном радикале освободиться от внешнего радикала, воспользовавшись равенством

.

Пример 1. Упростим выражение

.

Слагаемое можно рассматривать как удвоенное произведение чисел 2 и или 1 и . Число 9 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Очевидно, что это условие выполняется для чисел 2 и , т.е. .

Тогда получим:

.

Пример 2. Разность

является целым числом. Найдем это число.

Имеем:

Итак, на практике иногда удобно пользоваться формулами:

,

, где .

В некоторых случаях при преобразованиях выражений, содержащих квадратные корни, полезно использовать тождество:

, (1)

где , причем знаки берутся или только верхние, или только нижние.

Это тождество иногда называют формулой сложного радикала.

Чтобы доказать равенство (1), заметим, что при левая и правая его части являются положительными числами.

Возведя левую часть равенства (1) в квадрат, получим . Возведя правую часть равенства (1) в квадрат, получим:

Итак, квадраты обеих частей равенства (1) равны, а так как эти числа положительные, то равенство (1) доказано.

Пример 3. Преобразуем выражение

.

По формуле радикала имеем:

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из заданий вам необходимо выполнить. В случае трудностей обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 1. Верно ли равенство:

а) ; б) ?

Ответ обоснуйте.

Задание 2. Удовлетворяет ли число неравенству ?

Задание 3. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

Задание 4. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Задание 5. Разность является целым числом. Найдите это число.

Задание 6. Разность является целым числом. Найдите это число.

Задание 7. Докажите, что значение выражения является целым числом:

а) ;

б) .

Задание 8. Упростите сложные радикалы:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Задание 9. Докажите равенство:

а) ;

б) .

Задание 10. Упростите выражение .

Задание 11. Докажите, что выражение

равно 2, если ; равно , если .

Задание 12. Докажите, что .

Задание 13. Докажите, что

.

Задание 14. Упростите выражение:

а) ; б) .

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 2. Да.

К заданию 3. а)

;

б) ;

в) .

К заданию 4. а) 2; б) ; в) 2; г) 10.

К заданию 5. Имеем:

= .

К заданию 6. .

К заданию 8. а) ; в) .

К заданию 11. Преобразуем данное выражение, применив формулу сложного радикала, или воспользуемся методом подстановки: .

К заданию 12. Приведем знаменатели дробей к виду:

;

.

Затем выполним преобразования, указанные в условии задачи.

К заданию 13. Рассмотрим произведение двух последних радикалов. Оно будет равно . Произведение этого и второго радикала будет равно . Значит, все произведение будет равно единице.