Входная информация
Понятие действительного числа. Число, которое может быть представлено в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, называется иррациональным.
Примерами иррациональных чисел являются:
число 7,030033000333…
число , бесконечная непериодическая дробь
3,141592653689793…;
3) число 0,101001000100001…, у которого за каждой единицей идет группа нулей, содержащая на один больше, чем предыдущая группа.
Множество бесконечных непериодических дробей (положительных и отрицательных) образует множество иррациональных чисел.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел. Это множество обозначают буквой R.
Любое действительное число представляется в виде бесконечной десятичной дроби: , … …, где – целое число, , , , …, – цифры.
Соотношения между числовыми множествами N, Z, Q и R. Оно представлено на схеме :
Разбиение множества всех действительных чисел на непересекающиеся подмножества показано на схеме 2.
Целые отрица-тельные числа
Понятие противоположных чисел. Два действительных числа называют противоположными, если их сумма равна 0.
Например, – 3 и 3; и – противоположные числа.
Число 0 противоположно самому себе.
Понятие взаимно обратных действительных чисел. Взаимно обратными числами называют два действительных числа, произведение которых равно 1.
Например, и ; и ; и – взаимно обратные числа.
Число 1 обратно самому себе. Для числа 0 обратного числа не существует.
Сравнение двух действительных чисел. Число больше числа , и пишут > , если разность – положительное число; если же разность – отрицательное число, то говорят, что число меньше числа , и пишут < ; число равно числу , если .
Для любых заданных действительных чисел и имеет место одно и только одно из соотношений: < , , > .
При сравнении двух бесконечных десятичных дробей (не имеющих периода 9) пользуются следующим правилом.
, … < , …,
если и < при всех < ( = 0, 1, 2, 3, …).
Заметим, что если целые части двух десятичных дробей разные, то та дробь больше, у которой целая часть больше. Если целые части одинаковы, то надо обратиться к наименьшему разряду, для которого цифры дробей различны: та из дробей больше, у которой цифра этого разряда больше.
Действия над действительными числами. Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.
При выполнении действий в практических задачах действительные числа заменяют их приближенными значениями. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения, получают более точное значение результата.
Свойства действий над действительными числами:
1. – переместительный закон сложения;
2. – сочетательный закон сложения;
3. ;
4. ;
5. – переместительный закон умножения;
6. – сочетательный закон умножения;
7. – распределительный закон умножения относительно сложения;
8. ;
9. , где ;
10. .
Понятия среднего арифметического и среднего геометрического действительных чисел. Средним арифметическим нескольких чисел называют число, которое получается при делении суммы этих чисел на число слагаемых.
Например, среднее арифметическое чисел 30, 70 и 95 есть число, равное числу , т.е. числу 65.
Средним геометрическим положительных чисел , , …, называют корень -ой степени из произведения этих чисел, т.е. .
Обобщенное неравенство Коши имеет вид:
.
- Модуль 1. Числовые и линейные неравенства
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Входная информация
- Практическая часть
- «Линейное неравенство с одной переменной»
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Линейных неравенств
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- 10 Класс.
- Рубрика «Ваш помощник»
- Сводящихся к линейным неравенствам
- Входная информация
- 1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному;
- 2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное исходному;
- 3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное исходному.
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Краткие исторические сведения о неравенствах
- Интересно знать
- Кто сильнее?
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика “Ваш помошник”
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика «Ваш помощник»
- Практическая часть
- 5) Найденные множества решений объединяют и записывают ответ.
- Практическая часть
- Входная информация
- Практическая часть
- Рубрика “Ваш помощник”
- Входная информация.
- Рубрика “Ваш помощник”
- Краткие исторические сведения о неравенствах
- Интересно знать
- Кто сильнее?
- Нематематики о математике
- Практическая часть
- Содержащих квадратные корни
- Входная информация
- Практическая часть
- Входная информация
- Входная информация
- Математическая мозаика Из истории введения действия извлечения квадратного корня из числа
- Интересные задачи
- Софизмы
- А. Эйнштейн
- Модуль 4.
- Квадратные уравнения.
- Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- Рубрика «Ваш помощник»
- На линейные множители
- Входная информация
- Упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Уэ 5. Теорема Виета
- Входная информация
- Рубрика «Ваш помщник»
- Входная информация
- Входная информация
- Практическая часть
- Устные упражнения
- Рубрика «Ваш помощник»
- Входная информация
- С целыми коэффициентами
- Практическая часть
- Учимся доказывать теоремы
- Содержание