Входная информация

Вынесение из-под знака корня:

, если , .

Внесение под знак корня:

, если , .

, если , .

Учимся решать задачи. Рассмотрим некоторые задачи, связанные с понятием «арифметический квадратный корень» и некоторые способы преобразований числовых выражений, содержащих радикалы.

Пример 1. Вынесем в выражении множитель из-под знака корня.

Заметим, что если предложено выполнить преобразование и не сделано оговорок о значениях переменных, то будем предполагать, что входящие в выражение переменные принимают лишь те значения, при которых оно имеет смысл. Поэтому в данном примере , поскольку выражение имеет смысл лишь при неотрицательных значениях . Представим подкоренное выражение в виде произведения , в котором множитель является степенью с четным показателем. Тогда

.

Пример 2. Вынесем в выражении множитель из-под знака корня.

Данное выражение имеет смысл при любом , и, поскольку , имеем:

Задание. Обоснуйте выполнимость преобразований следующих выражений и укажите, какие значения могут принимать входящие в них переменные:

а) ;

б) ;

в) .

Пример 3. Внесем в выражении множитель под знак корня.

Отрицательный множитель –5 нельзя представить в виде арифметического квадратного корня, и поэтому множитель –5 нельзя внести под знак корня. Однако выражение можно преобразовать, внеся под знак корня положительный множитель 5:

.

Пример 4. В выражении внесем множитель под знак корня.

Множитель может быть любым действительным числом (отрицательным либо неотрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:

если , то ;

если , то .

Итак,

Задание. Обоснуйте выполнимость преобразований выражения:

а) ;

б) .