Входная информация

Понятие модуля действительного числа. Модулем действительного числа называют само это число , если , и противоположны ему число , если < 0.

Модуль числа обозначают и записывают:

Геометрическая интерпретация модуля. Геометрически модуль действительного числа есть расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета.

Решение уравнений и неравенств с модулями на основе геометрического смысла модуля. Пользуясь понятием «расстояние между двумя точками координатной прямой» можно решать уравнения вида или неравенства вида , где вместо знака может стоять любой из знаков .

Пример. Решим уравнение .

Решение. Переформулируем задачу геометрически. Поскольку -это расстояние на координатной прямой между точками с координатами и , значит, требуется найти координаты таких точек, расстояние от которых до точек с координатой 1 равно 2.

Короче, на координатной прямой найти множество координат точек, расстояние от которых до точки с координатной 1 равно 2.

Решим эту задачу. Отметим на координатной прямой точку, координата которой равна 1 (рис. 6) На две единицы от этой точки удалены точки, координаты которых равны -1 и 3. Значит, искомое множество координат точек есть множество, состоящее из чисел -1 и 3.

Ответ: -1; 3.

Как найти расстояние между двумя точками координатной прямой. Число, выражающее расстояние между точками и , называют расстоянием между числами и .

Для любых двух точек и координатной прямой расстояние

.

Основные свойства модуля действительного числа:

1. 0;

2. ;

3. ;

4. , ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

При имеем:

11. тогда только тогда, когда или ;

12. тогда только тогда, когда ;

13. тогда только тогда, когда или ;

14. тогда только тогда, когда ;

11. тогда только тогда, когда .