Свойства бесконечно большой последовательности:

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей даёт бесконечно малую последовательность.

  • Пусть , тогда рассмотрим сумму этих двух последовательностей: По условию ε>0 найдётся N₁ такой, что всех п>N₁ и найдётся N₂ такой, что всех п>N₂

  • , тогда при всех п>N:

• Разность двух бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

  • Следствие: Алгебраическая сумма бесконечно малой величины – есть бесконечно малая величина.

• Бесконечно малая последовательность ограничена, так как являет собой частный случай сходящейся последовательности.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную – есть бесконечно малая последовательность

  • Пусть и при всех п: . Возьмём ε>0, тогда найдётся N_ε такой, что при всех п> N_ε . Оценим

    • Следствие: произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей – есть бесконечно малая последовательность.

• Если все элементы бесконечно малой последовательности одному и тому же С, то С=0.

• Если – бесконечно большая, то обратная к ней – бесконечно малая.

Вопрос № 9 Бесконечно большие последовательности и их свойства:

1. Бесконечно большие последовательности и их свойства.

   1. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.

Последовательность бесконечно большая, если для всех А>0 найдётся N такой, что при всех п> N .

Свойства бесконечно малой последовательности:

• Сумма бесконечно больших последовательности одного знака – бесконечно большая последовательность.

• Разность даёт неопределённое выражение.

• Произведение двух бесконечно больших последовательностей – бесконечно большая последовательность.

• Отношение двух бесконечно больших последовательностей не определена.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями:

Действительно , однозначно для каждого ε>0 найдётся N_ε такой, что при всех п> N_ε

Вопрос № 10 Теорема об арифметических действиях над последовательностями, имеющими конечный предел:

тогда:

1. . Доказательство: – обозначим при п стремящемся к нулю. – обозначим при п стремящемся к нулю. Докажем, что – бесконечно мала: – бесконечно малая величина.

Вопрос № 11 Теоремы о переходе к пределу в неравенствах:

1. Пусть и при n>N . Доказательство: Предположим a<b, то есть b-a>0. Возьмём , для него существует N_ε такой, что при всех п> N_ε>=N: , или – противоречие показывает, что

2. Пусть и при n>N . Доказательство: Предположим a<b, то есть b-a<0. Возьмём , для него существует N_ε такой, что при всех п> N_ε>=N: , или – противоречие показывает, что

Следствия:

1. Пусть и для всех

2. Пусть и для всех

3. Пусть и для всех – сходится, и