Вопрос № 40: Производная по направлению:

1. Производная по направлению.

2. Градиент скалярного поля.

3. Связь с производной по направлению.

Если функция дифференцируема в точке , то существует производная по направлению .

Согласно Формуле вычисления скалярного произведения градиент запишется следующим образом:

1. Если

3. В направлении градиента

Пусть множество точек, где и точка принадлежат этому множеству. В окрестности точки М₀ существуют частные производные . Следовательно для всех в₀ больших нуля прямоугольный треугольник: . Существует пирамида: , пересекающая треугольник. ***

Вопрос № 41: Дифференциал f(M), M принадлежит Rⁿ:

1. Дифференциал f(M), M принадлежит Rⁿ.

2. Линеаризация функции.

3. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

Дифференциал функции:

Дифференциалом функции является главное линейное отношение приращений переменных, как часть полного приращения дифференцированной функции, то есть .

Формула для вычисления дифференциала: .

При п=2, то есть

Производные второго порядка для функций п-переменных:

Производной второго порядка функции п-переменных называется производная от производной п-1-ого порядка по каждой из переменных.

Линеаризация функции:

При малы приращениях из следует, что

Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных:

Дифференциал функции двух переменных – это приращение аппликаты касательной плоскости, при переходе от точки на касательной плоскости в точку .

Вопрос № 42: Производная сложной функции многих переменных:

1. Производная сложной функции многих переменных.

2. Полная производная.

Дифференцирование сложной функции:

1. Пусть , где , где множество значений принадлежит области определения функции, тогда: – сложная функция одной переменной t, тогда: если дифференцируемы в точке t, а дифференцируема, соответственно, в точке , то и дифференцируема по t, и существует дифференциал: – эта производная называется полной производной.

2. Пусть , где , пусть дифференцируемы в точке , а дифференцируема, соответственно, в точке , тогда функция дифференцируема как и существует дифференциал