logo
лекции мат ан 1 сем

Необходимое условие существования экстремума:

Экстремум функции существует только тогда, когда существуют и равны нулю первые частные производные по всем переменным функции.

Доказательство:

– это функция одной переменной х1, которая в точке ; Существует экстремум, отсюда, как известно для функции одной переменной её производная по переменной х10 в точке равна нулю. Это частная производная функции по переменной х1, для

Такая точка называется стационарной.

Следствие:

В стационарной точечке производная функции равна нулю, вектор градиента функции в стационарной точке равен нулевому вектору.

Все стационарные точки являются точками возможного экстремума, в этой точке рассматривается достаточное условие экстремума.

Функция в окрестности стационарной точки, частные производные второго порядка непрерывны:

– то есть знак приращения определяется знаком второго дифференциала. Выражение такого вида, где называется квадратичной формой.

Для определения знака квадратичной формы используется критерий Сильвестра.

Рассмотрим , вычислим его главные миноры.

  1. Если все миноры больше нуля, то квадратичная форма является положительно определённой, функция имеет минимум в точке.

  2. Если идёт чередование знаков, причём первый минор отрицателен, то квадратичная форма является отрицательно определённой, функция имеет минимум в точке.

  3. При любых других расстановках знаков у миноров квадратичная форма является неопределённой по знаку, и функция не имеет в точке экстремума.

  4. Если квадратичная форма равна нулю, при условии, что не все приращения равны нулю, то для исследования на экстремум следует применять производные более высоких порядков.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4