Необходимое условие существования экстремума:
Экстремум функции существует только тогда, когда существуют и равны нулю первые частные производные по всем переменным функции.
Доказательство:
– это функция одной переменной х1, которая в точке ; Существует экстремум, отсюда, как известно для функции одной переменной её производная по переменной х10 в точке равна нулю. Это частная производная функции по переменной х1, для
Такая точка называется стационарной.
Следствие:
В стационарной точечке производная функции равна нулю, вектор градиента функции в стационарной точке равен нулевому вектору.
Все стационарные точки являются точками возможного экстремума, в этой точке рассматривается достаточное условие экстремума.
Функция в окрестности стационарной точки, частные производные второго порядка непрерывны:
– то есть знак приращения определяется знаком второго дифференциала. Выражение такого вида, где называется квадратичной формой.
Для определения знака квадратичной формы используется критерий Сильвестра.
Рассмотрим , вычислим его главные миноры.
Если все миноры больше нуля, то квадратичная форма является положительно определённой, функция имеет минимум в точке.
Если идёт чередование знаков, причём первый минор отрицателен, то квадратичная форма является отрицательно определённой, функция имеет минимум в точке.
При любых других расстановках знаков у миноров квадратичная форма является неопределённой по знаку, и функция не имеет в точке экстремума.
Если квадратичная форма равна нулю, при условии, что не все приращения равны нулю, то для исследования на экстремум следует применять производные более высоких порядков.
Yandex.RTB R-A-252273-3
- I курс, I Семестр.
- Содержание: Вопрос № 1 Понятие «Множества»:
- Операции над множествами:
- Числовая прямая:
- Ограниченность числового множества:
- Теорем о существовании точных верхней и нижней граней:
- Некоторые характеристики Rn:
- Вопрос № 3 Понятие функции, как отображения:
- Классификация функций:
- Вопрос № 4 Числовая последовательность:
- Критерий Коши сходимости последовательности:
- Вопрос № 5 Теорема о единственности предела последовательности:
- Вопрос № 6 Теорема об ограниченности сходящейся последовательности:
- Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена:
- Вопрос № 7 Монотонные последовательности:
- Вопрос № 8 Бесконечно малые последовательности и их свойства:
- Свойства бесконечно большой последовательности:
- Вопрос № 12 Предел функции:
- Свойства непрерывных функций:
- Вопрос № 18: Понятие сложной функции:
- Вопрос № 19: Классификация точек разрыва:
- Вопрос № 32: Экстремумы:
- Локальные экстремумы:
- Необходимое условие экстремума:
- Достаточное условие экстремума:
- Достаточное условие экстремума:
- Вопрос № 34: Направление выпуклости графика функции:
- Достаточное условие выпуклости графика функции:
- Вопрос № 35: Точки перегиба графика функции:
- Необходимое условие точки перегиба:
- Общий случай:
- Вопрос № 36: Асимптоты графика функции:
- Вопрос № 37: Понятие п-мерной точки, п-мерного пространства:
- Вопрос № 38: Частные производные:
- Дифференцирование функции многих переменных:
- Понятие частных дифференциалов:
- Геометрический смысл частных производных:
- Вопрос № 39: Дифференцируемость функции
- Необходимые условия дифференцирования:
- Достаточные условия дифференцирования:
- Вопрос № 40: Производная по направлению:
- Вопрос № 43: Понятие о функциях, заданных неявно:
- Касательная и нормаль к поверхности:
- Вопрос № 44: Частные производные высших порядков:
- Необходимое условие существования экстремума:
- Вопрос № 46: Первообразная:
- Теорема о среднем:
- Вопрос № 54: Определённый интеграл с переменным верхним пределом:
- Свойства.
- Свойства.