Вопрос № 12 Предел функции:

1. Определение предела функции.

2. Функции одной переменно по Коши и по Гейне.

Функция п-переменных: Пусть каждой точке по некоторому закону ставится в соответствие число “U”, тогда говорят, что на задана числовая функция п-переменных:

Рассмотрим точку , во всей её окрестности существуют точки , где , при этом – область определения функции.

0. Говорят, что число “b” – , если для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство: – По Коши.

1. Говорят, что число “b” – , если для всех последующих точек сходится в точке А, соответствующая числовая последовательность сходится к числу “b” при к, стремящимся к бесконечности. – По Гейне.

2. Число “b” называют если для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство:

Для построения пусть , где , определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки.

Вопрос № 13 Теоремы об арифметических действиях над функциями, имеющими конечный предел:

Определение предела функции по Гейне позволяет перенести все результаты, полученные для сходящихся последовательностей на функции, имеющие конечный предел. В частности справедливы теоремы об арифметических действиях:

Пусть , тогда:

Бесконечный предел:

– говорят, что функция имеет бесконечный предел, если для всех

Вопрос № 14 Замечательный предел :

:

Угол АОМ=х

МС перпендикулярно АО; МС есть синус х.

АВ – тангенс х

Из геометрических соображений MC< дуги АМ < AB

для х больших нуля.

Если х больше нуля, то –х меньше нуля, и

Перейдём к пределу:

Согласно теореме о переходе в неравенство получим:

так как

Вопрос № 15: Второй замечательный предел:

Можно показать, что эта последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, а значит имеет конечный придел.

, аналогично для

Вопрос № 17: Непрерывность функции одной переменной в точке и на множестве:

1. Непрерывность функции одной переменной в точке и на множестве.

2. Свойства функций, непрерывных в точке.

Пусть определена на . Рассмотрим такое, что в любой её ε-окрестности содержится точка отличная от А.

непрерывна в А, если существует конечный предел .

непрерывна на , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Рассмотрим в А полное приращение , тогда ясно, что для непрерывной функции в А необходимо и достаточно что бы .