Вопрос № 7 Монотонные последовательности:

1. Монотонные последовательности.

2. Теорема о сходимости монотонной последовательности.

{x_n} называется возрастающей, если для всех п₁, п₂ таких, что п₁<п₂: х₁<x₂, и не убывает, если для всех п₁, п₂ таких, что п₁<п₂: х₁<=x₂

{x_n} называется убывающей, если для всех п₁, п₂ таких, что п₁<п₂: х₁>x₂, и не убывает, если для всех п₁, п₂ таких, что п₁<п₂: х₁>=x₂

Теорема: Возрастающая последовательность ограничена сверху и имеет конечный предел. Убывающая последовательность ограничена снизу и имеет конечный предел.

Доказательство: (Возрастающая последовательность ограничена сверху и имеет конечный предел.): х_п1<x_n2 при любых п₁<п₂ и х_п<=М при любых п. По теореме об ограниченном множестве есть число , то есть х_п<=а, а так же для всех ε>0 найдётся N такой, что . Тогда при всех п>N , или , тогда при n>N , другими словами . (Убывающая последовательность ограничена снизу и имеет конечный предел): х_п1>x_n2 при любых п₁<п₂ и х_п>=m при любых п. По теореме об ограниченном множестве есть число , то есть х_п<=а, а так же для всех ε>0 найдётся N такой, что . Тогда при всех п>N –