Вопрос № 44: Частные производные высших порядков:

1. Частные производные высших порядков.

2. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.

3. Дифференциалы высших порядков.

4. Формула Тейлора для функции многих переменных.

Вообще частные производные порядка к от функции , где – называется производная от производной к-1-ого порядка по каждой из переменной.

Определение: имеет частные производные по х, то есть существуют , то её называют производной второго порядка для функции и обозначают , аналогично

Теорема о смешанных производных:

Пусть для существуют частные производные первого порядка, тогда:

Заметим, что для элементарных функций смешанные производные так же элементарные функции.

Дифференциалы высших порядков:

Для функции существует непрерывная производная второго порядка. Вторым дифференциалом функции называется дифференциал от первого дифференциала функции.

Используя метод математической индукции можно доказать, что н-ного порядка:

Формула Тейлора:

существует в окрестности точки непрерывна производная до п-1-ого порядка включительно, тогда

Вопрос № 45: Экстремум функции многих переменных:

1. Экстремум функции многих переменных.

2. Необходимое условие существования экстремума.

3. Формулировка достаточных условий существования экстремума.

Говорят, что для функции существует минимальное (максимальное) значение в точке М⁰ из области определения, если у М⁰ существует окрестность, во всех точках которой: , или приращение функции меньше нуля, для максимума, и больше для минимума.