Необходимое условие точки перегиба:

Пусть значение второй производной в точке не равно нулю, то в силу непрерывности, вторая производная сохраняет свой знак следовательно учитывая теорему о существовании выпуклости графика функции, в окрестности точки не меняется направление выпуклости функции, что противоречит условию…

Если значение второй производной равно нулю, то это критическая точка второй производной, и в ней возможен перегиб. Эти точки исследуются при помощи достаточного условия.

Пусть для функции существует вторая производная в окрестности точки, и она равна нулю, если слева и справа от точки у второй производной разные знаки, следовательно, точка является точкой перегиба, иначе перегиба нет.