Свойства непрерывных функций:

1. Пусть и непрерывны в А, тогда так же непрерывны в А.

2. Пусть непрерывны в А и , тогда существует окрестность точки А, в которой и сохраняет свой знак . Доказательство: ; возьмём ε>0 так, что . Для выбранного ε существует такой, что для всех точек М условие в указанной окрестности точки А.

3. (О промежуточном значении) непрерывна на , и точки А и В принадлежат данному множеству, для всех С, где на всей непрерывной прямой L, соединяющей А и В существует М₀ такое, что . При этом предполагается, что рассматривается связное множество.

4. Непрерывная на компакте¹ функция ограничена на нём.

5. Непрерывная на компакте функция достигает на нём точной верхней и нижней грани, то есть существуют М_1,2 из , такие, что

6. Непрерывная на компакте функция равномерно² непрерывна на нём.