Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило крамера. Миноры и алгебраические дополнения

Def. Пусть дан определитель n-го порядка. Выберем в нем произвольные k строк и k столбцов ( ). Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называют минором k-го порядка (М) определителя .

Def. Если вычеркнуть строки и столбцы, на пересечении которых находится минор М, то оставшиеся элементы образуют матрицу порядка n-k, определитель которой называется дополнительным минором к минору М и обозначается .

В частности, дополнительный минор к элементу обозначается .

Def. Пусть минор k-го порядка расположен в строках с номерами и в столбцах с номерами . Обозначим

Алгебраическим дополнением для минора М называют число .

В частности, алгебраическое дополнение к элементу обозначается и .

N . Пусть дан определитель .

– минор 2-го порядка, – дополнительный минор к , – алгебраическое дополнение для .

Смысл алгебраического дополнения становится ясен из следующей леммы.

Доказательство.

1) Рассмотрим сначала случай, когда выбранный минор k-го порядка расположен в верхнем левом углу определителя.

Произвольный член минора М имеет вид , где l – число инверсий в перестановке . Произвольный член его дополнительного минора имеет вид , где t – число инверсий в перестановке .

Члены алгебраического дополнения будут получены из членов минора умножением на , т.е. будут равны членам дополнительного минора.

Произведение членов и имеют вид .

Элементы расположены в разных строках и разных столбцах определителя. Найдем знак, с которым входит произведение в определитель. Для этого определим число инверсий в перестановке . Все принимают значения от 1 до k, а принимают значения от k+1 до n, поэтому между собой и не будут образовывать инверсии и общее число инверсий равно l+t, т.е. слагаемые, входящие в произведение и равны членам определителя.

2) Рассмотрим общий случай. Пусть минор расположен в строках с номерами с номерами и в столбцах с номерами .

Переставляя строки и столбцы определителя, передвинем минор в верхний левый угол. Для этого строку поменяем местами со всеми предыдущими, передвинув на первое место, т.е. выполним транспозицию.

Для того, чтобы строка заняла второе место, подвергнем ее транспозиции и т.д., строку подвергнем транспозициям. Всего транспозиций строк: . В результате минор М будет расположен в первых k строках.

Далее последовательно переставляем столбцы: , пока он не займет первое место, , пока он не займет второе место и т.д. Имеем всего транспозиций столбцов. Полученный определитель отличается от исходного множителем . Согласно доказанному в первом случае, произведение состоит из слагаемых, входящих в состав определителя.

Доказательство.

– суммa нескольких слагаемых определителя. Пересчитаем число всех таких слагаемых в произведении всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках.

Число слагаемых в миноре k-го порядка равно , число слагаемых в его алгебраическом дополнении . Тогда содержит слагаемых.

Количество миноров k-го порядка в выбранных строках равно . Значит, сумма произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках, на их алгебраические дополнения содержит слагаемых, т.е. равна соответствующему определителю.

Теоремы 4.2 и 4.3 являются следствиями теоремы Лапласа.

Формула 4.1 называется разложением определителя по элементам строки, а формула 4.2 – разложением определителя по элементам столбца.

Доказательство.

Для доказательства достаточно разложить определитель по теореме Лапласа, выбирая миноры n-го порядка в первых n строках.