Нелинейные операции над матрицами

Def. Произведением строки на столбец называется число равное .

Заметим, что произведение строки и столбца определено, если они имеют одинаковую длину.

Def. Матрицы называют согласованными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Для согласованных матриц определяют их произведение.

Def. Произведением матриц и называется матрица , где

(5.6)

т.е. элемент произведения определяется как произведение i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В.

N .

.

В примере акцентируется внимание на нахождении элемента матрицы-произведения. Для этого перемножаются 1-я строка первого множителя на 2-й столбец второго множителя.

Свойства произведения матриц:

Замечание. Эти свойства имеют место при условии, что все операции возможны.

Доказательство.

1. Для доказательства этого свойства достаточно привести контрпример.

Например, показать, что .

2. Пусть , и . Тогда , а . С другой стороны,

, а . Таким образом размерности матриц и одинаковы. Обозначим , , , . Если теперь покажем, что , то свойство доказано.

и

и далее .

Заметим, что , т.к. они состоят из одних и тех же слагаемых, только расположенных в различном порядке .

Идея доказательства свойств 3 – 6 прозрачна, а потому не приводим их.

В лекции 3 определялась операция транспонирования матрицы (формула 3.1). Эта операция носит общий характер, т.е. применима к любой матрице. Справедливы следующие свойства:

Доказательство.

Свойства 1 – 3 проверяются непосредственно. Приведем доказатель­ство свойства 4.

Пусть и . Тогда и . С другой стороны, , и . Т.е. матрицы, стоящие в правой и левой частях равенства, имеют одинаковую размерность. Обозначим , , , , . Покажем, что .

Имеем: , .

С другой стороны,

.