Кривые второго порядка

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями сторой степени относительно текущих координат

(16.1)

где и Такие линии называют кривыми второго порядка. Позже мы докажем, что уравнение (16.1) определяет на плоскости эллипс, гиперболу, параболу, пару прямых (параллельных, совпадающих, пересекающихся) или пустое множество. В лекциях 16-17 рассмотрим свойства эллипса, гипеболы и параболы.

Эллипс

Выберем декартову систему координат так, чтобы (рис. 16.1). В нашем случае Пусть – текущая точка эллипса. – фокальные радиусы.

Тогда:

(16.2)

(16.3)

Заметим, что по определению эллипса , т.е. Обозначим

(16.4)

Тогда (16.3) принимает вид:

Разделим обе части полученного уравнения на Получим:

(16.5)

Уравнение (16.5) называют каноническим уравнением эллипса.

Исследуем форму эллипса.

1. Очевидно, что Аналогично, Следовательно. точки эллипса лежат внутри прямоугольника, ограниченного прямыми

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положим Из уравнения (16.5) получим Т.е. точки – точки пересечения с осью Положив в уравнении (16.5) находим точки пересечения эллипса с осью

Def. Точки называют вершинами эллипса. Отрезки и , а также их длины и называются соответственно большой и малой осями. Числа называются соответственно большой и малой полуосями.

– центр эллипса.

4. Из уравнения (16.5) следует, что если возрастает от 0 до то будет уменьшаться от до 0 и наоборот.

Таким образом, эллипс имеет форму, изображенную на рис. 16.2.

Замечание.

1. Если то уравнение (16.5) принимает вид – уравнение окружности с центром в начале отсчета и радиусом В этом случае согласно (16.4) Следовательно, фокусы эллипса совпадают с центром окружности. Таким образом, окружность можно считать частным случаем эллипса.

2. Если фокусы эллипса принадлежат оси то уравнение эллипса имеет тот же вид, но и В этом случае – большая ось, а – малая ось.

Def. Величину , равную отношению половины фокального расстояния к большой полуоси называют эксцентриситетом эллипса.

Т.е. для эллипса с фокусами на оси

(16.6)

Причем, т.к.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Действительно,

(16.7)

Из (16.7) следует, что если то Если то Значит, чем больше тем более «сплющенным» к оси будет эллипс. Для окружности

Понятно, что для эллипса с фокусами на оси

(16.7)

При выводе канонического уравнения эллипса мы получили следующие выражения для фокальных радиусов:

Используя понятие эксцентриситета, можно получить рациональные выражения для фокальных радиусов. Действительно, из (16.2)

Разделим обе части равенства на Получим т.е.

(16.8)

Учитывая, что получаем, что

(16.9)